Cuál es la diferencia entre

Estoy tratando de entender la Transformada de Fourier y la Transformada de Laplace. ¿Cuál es la diferencia entre la notación y ? $X(j\omega)$ $X(\omega)$

¿Cuál es el significado de ? ¿Representa frecuencia? Si es así, ¿cuál es el significado de la frecuencia imaginaria? $j\omega$

Gracias por adelantado.

fourier-transform laplace-transform

— Verdery
fuente

La transformación de Laplace cubre todo el plano 2D S. La transformada de Fourier es solo el corte 1D de ese plano a lo largo del eje jω

— endolito

Ambas notaciones son comunes y correctas. Como señaló Yuri Nenakhov, la ventaja del argumento $j\omega$ es que coincide con la variable compleja (transformación de Laplace) $s$ cuando su parte real es cero. Tenga en cuenta que en el complejo $s$ -plano el eje de frecuencia es el eje imaginario. Entonces $j\omega$ no tiene nada que ver con la frecuencia compleja (que no tiene sentido).

Entonces, si la transformación de Laplace $X(s)$ de una señal $x(t)$ existe, y si el eje imaginario está dentro de su región de convergencia, entonces la transformación de Fourier se obtiene estableciendo $s=j\omega$ .

Tenga en cuenta que esto no funciona en general! En general, no puede obtener la transformación de Fourier reemplazando $s$ con $j\omega$ y viceversa. Deben cumplirse dos condiciones para que esto conduzca a un resultado correcto:

Ambas transformaciones deben existir (en el sentido de que la señal correspondiente $x(t)$ tiene una transformada de Laplace y una transformada de Fourier).
El eje imaginario $s=j\omega$ debe estar dentro de la región de convergencia de la transformada de Laplace.

Un ejemplo donde reemplazar $s$ por $j\omega$ no funciona, aunque existan ambas transformaciones, es la función de paso:

\begin{aligned} X (t) = tu (t) \\ Transformada de Laplace: & X (s) = \frac{1}{s} \\ Transformada de Fourier: & \hat{X} (j ω) = π δ (ω) + \frac{1}{j ω} \neq X (s) {El |}_{s = j ω} \end{aligned}

$\begin{align}&x(t)=u(t)\\\text{Laplace transform: }&X(s)=\frac{1}{s}\\ \text{Fourier transform: }&\hat{X}(j\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}\neq X(s)|_{s=j\omega}\end{align}$

— Matt L.
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No estoy de acuerdo con tu ejemplo. Claramente, la transformación de Laplace de la función Heaviside no existe en s = 0 (y existe en el eje imaginario también solo por continuación analítica), por lo que sus propios requisitos fallan. También tenga en cuenta que la transformada de Fourier y la transformada de Laplace coinciden donde ambos están definidos.

— Jazzmaniac

@Jazzmaniac: existe la transformación de Laplace de la función de paso. Tiene un poste en

s = 0

$s=0$ . Esto es diferente de los casos en que la transformación de Laplace no existe (como para

x (t) = \sin (ω t)

$x(t)=\sin(\omega t)$ ) Si no estás diciendo que la transformación de Fourier de

x (t) = u (t)

$x(t)=u(t)$ se puede obtener de

X (s)

$X(s)$ configurando

s = j ω

$s=j\omega$ (lo cual está mal), no estoy seguro de qué es lo que estás diciendo.

— Matt L.

Estoy diciendo que la transformación de Laplace no existe en s = 0, y estrictamente hablando, ni siquiera existe en real (s) = 0. La integral impropia no converge allí. Puede solucionarlo aplicando una asignación de valor principal de Cauchy a la integral o continuando analíticamente la transformación de Laplace en real (s)> 0. Pero hagas lo que hagas, no puedes arreglarlo para s = 0. Por lo tanto, la transformación de Laplace no existe en todas partes en el eje imaginario, y si eres realmente estricto, no existe en ninguna parte del eje imaginario en el sentido adecuado.

— Jazzmaniac

Es por eso que el desacuerdo entre la transformada de Laplace y la transformada de Fourier en

s = 0

$s=0$ o

ω = 0

$\omega=0$ es lo menos que puedes esperar. No es mucho más que una afortunada coincidencia que se deriva de algunas buenas propiedades de la continuación analítica de que obtienes el resultado correcto en

s = ω * j

$s=\omega*j$ para

ω \neq 0

$\omega \neq 0$ . Así que estoy de acuerdo con su ejemplo, pero no con la premisa "... a pesar de que ambas transformaciones existen ...".

— Jazzmaniac

@Jazzmaniac: OK, pero la idea del ejemplo era mostrar un caso simple donde con

X (s)

$X(s)$ la transformada de Laplace,

X (j ω)

$X(j\omega)$ no (para todos

ω

$\omega$ ) igual a la transformada de Fourier. Y aún así, ambas transformaciones existen para ese ejemplo. Obviamente, el ROC de

X (s)

$X(s)$ es

R e {s} > 0

$Re\{s\}>0$ . La función de paso tiene una transformación de Laplace y una transformación de Fourier, eso es todo lo que quiero decir cuando digo que ambos existen. Agregaré dos ejemplos más más adelante, donde uno de los dos no existe, para aclarar mi punto.

— Matt L.

$X(j \omega)$ (respuesta de frecuencia) es una transformada de Fourier de la respuesta de impulso del sistema. En realidad es una función de frecuencia ( $\omega$ ) pero generalmente se escribe como $X(j \omega)$ porque reemplazando $j \omega$ en la fórmula con $s$ le dará la transformación de Laplace del sistema $X(s)$ sin conversiones adicionales. (Esto también funciona en la dirección opuesta: si tiene una forma de cambio de Laplace, puede obtener respuesta de frecuencia reemplazando $s$ con $j \omega$ .)

— Yuri Nenakhov
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Tenga en cuenta que reemplazar

s

$s$ con

j ω

$j\omega$ y viceversa, generalmente no es una forma válida de obtener la transformación de Fourier de la transformación de Laplace o al revés. Mira mi respuesta.

— Matt L.