¿Qué son los polos y ceros?

El concepto de polos y ceros en los filtros me fue presentado durante nuestro laboratorio (nuestro laboratorio no está sincronizado con nuestra conferencia) a través de la generación de filtros de trama de polo cero en MATLAB. No entendí su importancia hasta que se mencionó en nuestra conferencia que los polos hacen que la ecuación sea infinita (o su denominador cero) mientras que los ceros hacen que las raíces en el numerador sean cero. Todavía no puedo entender qué son los polos y ceros. ¿Alguien puede dar una explicación intuitiva y simple sobre qué son los polos y ceros? Muy apreciado.

Tome la ecuación b / (xc) con b no cero. La relación va al infinito cuando x se acerca a c. Entonces, c es la ubicación de un poste (algo alto y puntiagudo en un gráfico).

Tome la ecuación (xb) / c con c no cero. La relación va a cero cuando x se acerca a b. Entonces b es la ubicación de algo comúnmente llamado "un cero".

No solo puede hacer esto con x escalar, sino con x complejo, por lo tanto, el dominio de los polos y ceros estará en un plano (complejo) en lugar de en una línea.

Si la relación representa algo sobre la respuesta de un filtro, podría decir que la salida de los filtros está en o cerca de cero cuando la entrada está en o cerca de una respuesta "cero". Y las cosas malas pueden comenzar a suceder cuando x se acerca a un poste (la fuente de alimentación comienza a fumar cuando se le pide que suministre amplificadores infinitos, las operaciones matemáticas producen NaN o desbordamientos de punto fijo, etc.)

Para agregar a las otras buenas respuestas, los siguientes gráficos me resultaron útiles para obtener una mejor comprensión intuitiva, más específicamente para los polos y ceros de las funciones de transferencia.

(ACTUALIZACIÓN: También me encontré con esta otra publicación similar de @Endolith que es muy buena: cómo se relacionan los polos con la respuesta de frecuencia )

A continuación se muestra la función de transferencia de un filtro de paso bajo con dos polos en el plano de la mitad izquierda, dado por la transformada de Laplace de la respuesta al impulso del filtro. Este es un sistema analógico, pero se pueden hacer representaciones equivalentes para sistemas digitales en el dominio z en lugar del dominio s.

La gráfica de la izquierda es el diagrama típico que vemos cuando se introduce a los polos y ceros que muestran su ubicación en el plano s, y señala que un polo es el valor de s que hace que la ecuación X (s) vaya al infinito mientras que un cero es El valor de s que hace que la ecuación X (s) vaya a cero. Entonces, sí, este sistema en particular también tiene dos ceros en el infinito ya que esos valores para s hacen que la ecuación vaya a cero.

A la derecha hay un diagrama 3D que muestra la magnitud de X (s) para todos los valores de s en el plano complejo. ¡Es interesante que este es el único gráfico que resultaría de tal proporción de polinomios, de modo que lo describimos completamente simplemente desde el polo y cero ubicaciones! Por lo tanto, cada punto de esta superficie se comunica en este caso simplemente desde las dos ubicaciones de polos indicadas.

Cabe destacar que a menudo estamos interesados ​​en la respuesta de frecuencia de un filtro o sistema. s es la entrada que en el plano complejo puede tener componentes reales e imaginarios. Específicamente, cuando s es a tiene un valor imaginario constante solamente, estamos describiendo una frecuencia constante. Por lo tanto, un corte a lo largo del eje en el gráfico 3D que se muestra de todas las magnitudes mostraría la respuesta de magnitud del filtro, como se muestra en la esquina superior derecha del gráfico anterior (que es equivalente a la magnitud de la Transformada de Fourier del respuesta de impulso del filtro).$j\omega$

Lo que no se muestra en el gráfico 3D anterior es la "Región de convergencia" que muestra todos los valores de s donde la Transformada de Laplace converge a un valor finito dependiendo de si el sistema es causal o anticausal.

La función de transferencia de una red (cuadro negro) es generalmente una función racional con un numerador y un polinomio denominador. Según el teorema fundamental de álgebra de Gauss, un polinomio también se puede escribir como el producto de los ceros polinómicos. Por lo tanto, los ceros del polinomio denominador crean los polos de la función de transferencia (1 / cero = infinito -> polo). Los ceros del polinomio numerador son los ceros de la función de transferencia.

Ver también: http://www.rfcurrent.com/poles-and-zeroes

Primero, debería ver un plano z como un conjunto de señales exponenciales complejas. Si , a continuación, correspondiente señal discreta . Si , es una señal decadente.$z = z_0$$Re(z^n) = Re(z_0^0),\ Re(z_0^1),\ Re(z_0^2),\ ...$$|z_0|<1$

En segundo lugar, los polos y ceros se utilizan para describir un sistema IIR, es decir, un sistema con retroalimentación.

Los ceros son fáciles: si el sistema tiene un cero en , eso significa que una señal definida por en un plano z pasará a través de un circuito de retroalimentación y sumará estrictamente fuera de fase, dando como resultado una salida cero. Los polos son un poco más complicados: si el sistema tiene un polo en , eso significa que un sistema generará esta señal de lo que se altera y se mueve libremente. Obviamente, si el sistema tiene un polo para aumentar la señal ( ), es inestable. Al diseñar un filtro, se deben colocar ceros para suprimir las frecuencias no deseadas. Los postes se colocan de manera que$z_0$$z_0$$z_0$$|z_0|>1$

• cancelan la influencia de los ceros para que se pasen las frecuencias
• el filtro permanece estable