Cómo se relacionan los polos con la respuesta de frecuencia

Recientemente he caído en la falacia , considerando el polo s = 1 ya que hay una respuesta infinita en la frecuencia 1. Sin embargo, la respuesta fue solo 1. Ahora, ¿puedes derivar la respuesta de frecuencia, dados los polos?

En segundo lugar, la teoría dice que un sistema es estable cuando los polos están en el plano s izquierdo y, por lo tanto, decaen con el tiempo. Pero espera. ¿Un "polo" significa la respuesta infinita: el crecimiento en el tiempo?

Finalmente, ¿es la pregunta correcta en DSP? OMI, D significa digital mientras que s-domain es analógico. No encuentro etiquetas de transformación s-plane o Laplace para etiquetar mi publicación.

actualización Gracias por las respuestas. Parece que lo tengo, excepto una cosa menor pero fundamental: la relación de los polos (y ceros) con la frecuencia. Básicamente, ¿por qué son los valores propios (o, ¿cómo se llama a la $s$ operador / variable) relacionada con la frecuencia? Debería estar relacionado de alguna manera con el crecimiento exponencial y la transformación de Laplace. Entiendo perfectamente que los polos son valores propios (especialmente para las recurrencias discretas). Pero, ¿cómo se relaciona esto con la frecuencia?

Creo que en realidad hay 3 preguntas en su pregunta:

P1: ¿Puedo derivar la respuesta de frecuencia dados los polos de un sistema (lineal invariante en el tiempo)?

Sí, puedes, hasta una constante. Si $s_{\infty,i}$ , $i=1,\ldots,N,$ son los polos de la función de transferencia, puede escribir la función de transferencia como

$$H(s)=\frac{k}{(s-s_{\infty,1})(s-s_{\infty,2})\ldots (s-s_{\infty,N})}\tag{1}$$

Tenga en cuenta que $s$ es una variable compleja $s=\sigma+j\omega$ , y la variable de frecuencia $\omega$ corresponde al eje imaginario del plano $s$ complejo . Ahora necesitamos obtener la respuesta de frecuencia de la función de transferencia. Para sistemas estables, esto se puede hacer simplemente evaluando la función de transferencia $H(s)$ para $s=j\omega$ . Entonces reemplaza $s$ por $j\omega$ en (1) y listo. Sin embargo, tenga en cuenta que esto solo es cierto para sistemas estables (es decir, si la región de convergencia de $H(s)$ incluye eleje$j\omega$ ).

P2: ¿Cómo puede un sistema estable tener polos?

Como ya sabe, para sistemas causales y estables, todos los polos deben estar en el semiplano izquierdo del plano $s$ complejo . De hecho, el valor de la función de transferencia $H(s)$ irá al infinito en un polo $s=s_{\infty}$ , pero la respuesta de frecuencia estará bien, porque si todos los polos están en el semiplano izquierdo, no hay polos en el $j\omega$ -axis (o a la derecha de la misma). Si lo observa en el dominio del tiempo, entonces cada polo (simple) tiene una contribución de $e^{s_{\infty}t}$ a la respuesta de impulso del sistema. Si el polo está ubicado en el semiplano izquierdo, esto significa que $s_{\infty}=\sigma_{\infty}+j\omega_{\infty}$ tiene una parte real negativa$\sigma_{\infty}<0$ . Entonces

$$e^{s_{\infty}t}=e^{\sigma_{\infty}}e^{j\omega_{\infty}}$$

es una función amortiguada exponencialmente y no crece sino que decae, porque $\sigma_{\infty}<0$ .

P3: ¿Esta pregunta pertenece aquí?

Otros miembros de la comunidad tienen que juzgar si esta pregunta pertenece aquí. Creo que si. Obviamente, no está directamente relacionado con DSP puro, pero los ingenieros de DSP a menudo también tienen que lidiar con señales y sistemas analógicos antes de la conversión AD, por lo que también conocen la teoría de sistemas continuos. En segundo lugar, casi todas las personas DSP (al menos las que tienen capacitación tradicional) tuvieron bastante exposición a las señales generales y la teoría de sistemas, incluidos los sistemas de tiempo continuo y de tiempo discreto.

Por cierto, para sistemas de tiempo discreto obtienes la transformación $\mathcal{Z}$ lugar de la transformación de Laplace, y tu variable compleja ahora se llama $z$ lugar de $s$ . La variable $D$ que ha mencionado se define como $D=z^{-1}$ y se utiliza principalmente en la literatura de codificación. Por su definición, denota un elemento de retraso, por lo que $D$ significa "retraso" (no "digital").

Si se sabe que la izquierda semiplano del complejo $s$ mapas un plano a la región dentro del círculo unidad del complejo $z$ un plano (es decir, $|z|<1$ ), y el $j\omega$ eje x mapas al círculo unidad $|z|=1$ , entonces casi todo lo que sabe sobre uno de los dos dominios se transferirá fácilmente al otro dominio.

Una cosa que realmente me ayudó a entender los polos y ceros es visualizarlos como superficies de amplitud. Varias de estas parcelas se pueden encontrar en A Filter Primer . Algunas notas:

• Probablemente sea más fácil aprender primero el plano S analógico y, después de comprenderlo, aprender cómo funciona el plano Z digital.
• Un cero es un punto en el que la ganancia de la función de transferencia es cero.
• Un polo es un punto en el que la ganancia de la función de transferencia es infinita.
• A menudo hay ceros o polos en el infinito, que no siempre se incluyen en las descripciones de la función de transferencia, pero son necesarios para comprenderla.
• La respuesta de frecuencia en el plano S ocurre solo a lo largo del eje jω.
  • El origen es 0 Hz, o CC, y la frecuencia de corte de los filtros aumenta radialmente lejos del origen. Poner un poste en cualquier punto a lo largo de un círculo a una cierta distancia del origen producirá la misma frecuencia de corte.
  • Para aumentar la frecuencia de corte de un filtro, mueva los polos radialmente hacia afuera.
  • Para aumentar la Q de un filtro biquad, mueva los polos a lo largo del círculo hacia el eje jω, lo que mantiene constante la frecuencia de corte, pero aumenta el efecto que tiene el polo en la respuesta de frecuencia, haciéndolo más "pico".
  • 
• Si aparece un cero en el eje jω, entonces la respuesta de frecuencia caerá a cero a esa frecuencia; Si ingresa una onda sinusoidal a esa frecuencia, la salida será 0.
• Si aparece un polo en el eje jω, entonces la respuesta al impulso es un oscilador; cualquier impulso hará que suene para siempre a esa frecuencia. Los impulsos tienen energía finita, pero la respuesta del filtro tiene energía infinita, por lo que tiene ganancia infinita.

Un ejemplo simple es un integrador H (s) = 1 / s:

• Esta función es igual a 0 cuando s es infinito, por lo que tiene un cero en el infinito.
• Esta función es igual a infinito cuando s es cero, por lo que tiene un polo en cero.

En otras palabras, tiene una ganancia infinita en DC (la respuesta escalonada de un integrador aumenta para siempre), y la ganancia disminuye a medida que aumenta la frecuencia:

Alejar el polo del origen, a lo largo del eje imaginario hacia la mano izquierda del plano S, hace que la ganancia a 0 Hz en el eje jw sea finita nuevamente, y ahora tiene un filtro de paso bajo:

No diré el mapeo completo de los polos (1) / ceros (0) a la respuesta de frecuencia, pero creo que puedo explicar la conexión entre la frecuencia y la respuesta cero / infinito, ¿por qué tiene una respuesta infinita / cero en es decir , lo que e - j w tiene que ver con z .$e^{-jw}=z_\text{zero/pole},$$e^{-jw}$$z$

La forma general del sistema lineal es que puede ser resuelto en z-from como Y ( z ) = ( b 0 + b 1 z +

$$y_n+a_1y_{n-1}+a_2y_{n-2}+\cdots = b_0 x_n + b_1x_{n-1}+b_2x_{n-2}+\cdots,$$ $$Y(z) = {(b_0 + b_1 z + b_2 z^2+\cdots)\over(1+a_1z+a_2z^2+\cdots)}X(z) = H(z)X(z) = {(1-z_0z)(1-z_1z)\cdots \over(1-p_0z)(1-p_1z)\cdots}X(z).$$

$(1-z_0 z)\cdots{1\over 1-p_0 z}$ puede considerarse como una serie de sistemas, donde la primera salida es la entrada para otro.

$H(z)X(z)$$Y(z)=(1-z_0z)Χ(z),$$y_n = b_0x_n + b_1x_{n-1}.$ Let's take $b_0=b_1=1$ for simplicity. I mean that $y_n = x_n + x_{n-1}$.

What we want to determine the effect of the system H(z) upon harmonic signal. That is, the input is going to be test signal

$$x_n = e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} 1 + e^{jw}z + e^{2jw} z^2 + \cdots = 1/(1-e^{jw})= X(z).$$ The response is going to be $$y_n = x_n + x_{n-1}|_{x_n = e^{jwn}} = e^{jwn} + e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(1+e^{-jw})$$ that is, $1+e^{-jw}$ is the transfer function or $Y(z) = {(1+z)\over (1-e^{jw}z)} =(1+z)X(z)$.

Please note that $1+z$ basically says that output is sum of input signal plus shifted signal, since single $z$ stands for single clock delay in time domain.

Now, as explained in, $H(jw) = 1 + e^{-jw} = e^{-jw/2}(e^{jw/2}+e^{-jw/2}) =e^{-jw/2}2\cos(w/2)$. Cosine makes it to behave like low-pass filter

$$\begin{cases} w=0 & \Rightarrow &H(j0) = 1\cdot 2 \cos (0) = 2\\ w=\pi & \Rightarrow & H(j\pi) = e^{j\pi/2}2\cos(\pi/2) = 0 \end{cases}$$

It is also a good lesson that you get $2 cos \alpha = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}$ because you will supply the real signals rather than complex imaginary ones in real life.

LTI with impulse response = {1,-1} is $y_n=x_n -x_n|_{x_n=e^{jwn}} =e^{jwn}(1-e^{-jw})$ has transfer function of $H(jw) = (1-e^{-jw}) = e^{-jw/2}(e^{jw/2}-e^{-jw/2})=e^{-jw}2\sin(w/2)$, which has zero at $w=0$ since $sin(0)=0$ but it can be found from the frequency response

$$H(jw)=1-e^{-jw} = 0 \Rightarrow e^{-jw} = 1 = e^0 \Rightarrow w = 0.$$

After the textbooks, I can spot the surprising coincidence between transfer function $H(z) = 1\pm z$ and frequency response $H(jw)=1\pm e^{-jw}$. That is, z somehow corresponds to $e^{-jw}$, which is important for zero/pole analysis. I read it like

sine z-factor stands for a clock shift and $y_n = x_n \pm x_{n-1}=0$ means that next sample is $\pm$ previous one to get zero response, we need to have $1\pm z=0$ in front of X(z). But, the frequency domain basis functions $e^{jwn}$ evolve by multiplying current value $e^{jw(n-1)}$ with $e^{jw}$ every clock. Therefore, we have $e^{jwn}(1 \pm e^{-jw}) =0$ as condition for constant zero output. The latter $1\pm e^{-jw}$ matches perfectly with zero transfer function $1\pm z=0$.

In general, single-zero LTI is given by $y_n = b_0 x_n + b_1 x_{n-1}$ or

$$Y(z) = (b_0 + b_1 z)X(z) = (b_0+ b_1z)(1+x_1z+x_2z^2+\cdots) = b_0 + (b_0 x_1 + b_1 x_0)z + (b_0 x_2 + b_1 x_1)z^2 + \cdots.$$ When $b_0+b_1 z = 0$, i.e. when $z=-b_0/b_1,$ whereas frequency response is, $$y_n(x_n = e^{jwn}) = b_0 e^{jwn} + b_1 e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(b_0+b_1 e^{-jw})= e^{jwn}b_0(1-z_0 e^{-jw}),$$

which goes to zero when $1-z_0 e^{-jw} = 0$ or $e^{-jw} = 1/z_0$, which matches the computation for $z$ if $z=e^{-jw}$. The only thing that bothers me is that fixed-amplitude complex exponential is not enough for the frequency (harmonic) basis. You cannot obtain arbitrary ratio $1/z_0= e^{-jw}$ by choosing appropriate frequency $w$, a decaying harmonic signal is needed for that. That is weird because I have heard that any signal can be represented as sum of (constant amplitude) sines and cosines. But, anyway, we see that system zero stands for relationship between adjacent samples of input signal. When they are right, the output is identically 0 and we can choose such such frequency $w$ so that zero $z = 1/z_0 = e^{-jw}.$

Now, what about the poles? Let's single out a single pole $a$. The system has a from of $y_n = a y_{n-1} + (x_n + x_{n-1} + \cdots)$, under assumption $y_0 = 0$, has z-transform of $Y(z) = X(z)/(1-az)$.

The feedback $a$ is equivalent to infinite impulse response ${1,a,a^2,\ldots} \overset{z}{\leftrightarrow} 1 + az + a^2z^2 + \cdots = 1/(1-az)$. It says that response is infinite when $z=1/a$. What does it mean if we apply the test signal

$$x_n=e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} X(z) = 1+e^{jw}z+e^{2jw}z^2+\cdots = 1/(1-e^{jw}z)$$ to our system? We'll get $Y(z)={1\over 1-az}{1\over 1-e^{jw}z},$ or $$y_n = e^{jwn} + ae^{jw(n-1)} +a^2e^{jw(n-2)} +\cdots = e^{jwn}(1+ae^{-jw} + a^2e^{-2jw} + \cdots) ={e^{jwn}\over 1-ae^{-jw}}.$$ That is, frequency response is $1/(1-ae^{-jw}),$ which goes to infinity when $e^{-jw}=1/a,$ the same as $z_{pole}$ above, $e^{-jw}=z_{pole}=1/a$. But again, you can not always arrive at the pole $1/a$ adjusting the frequency $w$ alone. The frequency basis functions must be decaying amplitude in general and look like $(ke^{jw})^n$.

That is, zeroes or poles of the transfer function $H(z)$ happen to match the zeroes and poles of frequency response $H(jw)$, which is really amazing. I noticed that this is related to the relation between adjacent samples, $e^{jwn}/e^{jw(n-1)} = e^{jw} = 1/z_{zero}$ in case of zeroes. The fact that $e^{jwn}$ scales exponentially over time, along with the system with feedback $a$, also seems to be the key for matching between $e^{jw}$ and $z_{poles}$. It also seems important that you cannot simply look for the appropriate frequency of $e^{jwn}$, the basis function must also have adjustable amplitude factor $k^n$.

I would be happy if anybody could explain the same more condensely or more crisply.