¿Cómo generalizar la transformada de Fourier?

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La transformada de Fourier toma una señal y la divide en una serie de ondas seno y coseno.

Me dicen que se supone que es posible dividir una señal en algún otro conjunto de funciones. Mi pregunta es: ¿Cómo haces esto?

Supongo que el conjunto de funciones que usa tendría que tener ciertas propiedades para que esto funcione. (Por ejemplo, debe tener "suficientes" funciones diferentes para capturar toda la información de la señal original). ¿Cómo puede determinar si su conjunto de funciones es adecuado? ¿Y luego cómo haces la división real?

fourier-transform

— Orquídea matemática
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Comience con la serie de Fourier en lugar de que se transforma Fouroer. Busque "conjunto ortonormal" para las propiedades necesarias y "conjunto ortonormal completo" para ver si tiene "suficientes" funciones diferentes para capturar toda la información. La "división" se realiza exactamente de la misma manera que para la serie Fourier, excepto que integra

x (t) ψ_{n} (t)

$x(t)\psi_n(t)$ más bien que

x (t) \cos (n ω t)

$x(t)\cos(n\omega t)$ .

— Dilip Sarwate

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Un ejemplo de otra transformación (discreta en ambos dominios) con funciones de base no sinusoidales es la transformación de Hadamard .

— Jason R

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Cuando dices generalizar, debes ser más específico (juego de palabras no intencionado). Se dice que la Transformada de Fourier fraccional, por ejemplo, generaliza la transformada de Fourier con respecto a un parámetro oculto en la transformada de Fourier convencional. Como Dilip ha señalado, si se refiere a la base, necesita encontrar un núcleo adecuado. Matemáticamente, esto significa un "conjunto ortonormal completo". Funcionalmente, esto significa un núcleo que representará escasamente su señal y proporcionará información significativa.

— Bryan

¿Wavelet se transforma?

— CyberMen

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La Transformada de Fourier es solo una de las tantas transformaciones diferentes que alteran la representación de (generalmente) una serie temporal desde el dominio del tiempo, a otro dominio (generalmente un dominio de frecuencia, pero existen otras representaciones para otras transformaciones como tiempo / frecuencia, tiempo / escala y otros).

Puede encontrar mucha más información sobre las transformaciones en general en esta lista de artículos de Wikipedia que enumera algunas transformaciones populares y de uso frecuente. (Es posible que desee centrarse en las transformaciones discretas e integrales al principio)

Alternativamente, puede consultar esta discusión reciente sobre cómo la transformada Wavelet logra una descomposición similar a la de la transformada de Fourier.

Finalmente, cuando tiene el lujo de haber adquirido simultáneamente muchas series temporales diferentes del mismo fenómeno, incluso puede emplear técnicas como el Análisis de componentes principales (PCA) y el Análisis de componentes independientes (ICA) que van al punto de transformar una señal en un suma de formas de onda elementales que en realidad se extraen de la señal misma (en lugar de preestablecerse como se hace en Fourier (y transformaciones relacionadas) o Wavelets).

— AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO
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Las transformaciones son una versión especificada de wavelets. Básicamente, una wavelet es una forma más generalizada de una transformada de Fourier. Esencialmente, cualquier cosa puede descomponerse en una suma de versiones cambiadas en el tiempo de una función oscilante.

— CyberMen

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Además de las respuestas dadas aquí, debo agregar que hay situaciones en las que la unicidad de descomposición o incluso la integridad no son las propiedades más buscadas. En cambio, se busca una descripción "compacta" con el menor coeficiente posible, y para este efecto, es útil tener una base de descomposición que no esté vinculada a una sola "familia" de elementos (digamos ondas sinusoidales). En tales situaciones, realmente puede poner lo que quiera en la base que usará para su descomposición, y la descomposición en sí se realiza utilizando el algoritmo de búsqueda de correspondencia. Esto demuestra ser adecuado para señales de audio, que pueden exhibir segmentos muy estables y sostenidos (el sonido largo, decadente y casi puro de una nota de vibráfono), pero también una parte transitoria (el estallido de energía de banda muy ancha al principio de la nota).

— pichenettes
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+1 para el enlace interesante al Algoritmo de búsqueda coincidente.

— MathematicalOrchid

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La transformación de Fourier es una de las muchas formas de expresar una función como una suma ponderada de algunas otras funciones, a menudo llamadas funciones básicas. Esto se puede hacer por dos razones.

La función base puede tener un significado físico y / o dar una idea de la naturaleza de la función original. La función base se puede ver como los "componentes constituyentes" de la función.
Puede facilitar las matemáticas. En lugar de realizar alguna operación en la función, puede dividirla en funciones básicas, operar en las funciones básicas y luego volver a unirlas.

La Transformada de Fourier es popular, ya que hace ambas cosas: las funciones básicas son onda sinusoidal con el parámetro "frecuencia" tienen un significado físico bien definido y también son invariantes a los sistemas lineales invariantes en el tiempo. Es decir, la onda sinusoidal da salida a la onda sinusoidal. Ambas propiedades son bastante útiles. La Transformada de Fourier es mi no significa la única forma de hacer esto. Se puede usar cualquier conjunto de funciones lineales independientes. Son populares las bases ortonormales, ya que hace que las transformaciones reales sean realmente fáciles.

— Hilmar
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Eso lo entiendo. Lo que no entiendo es exactamente lo que constituye un "conjunto de funciones lineales independientes".

— MathematicalOrchid

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Algunos antecedentes en álgebra lineal te ayudarán a entender lo que quiere decir. Aquí hay un artículo en Wikipedia que podría ayudar un poco.

— Jason R

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Piense en sus funciones básicas como "bloques de construcción" que combina para crear las funciones más complicadas. La independencia lineal significa que no puede construir ninguna función básica como una combinación de otras funciones básicas. Tienen que ser excepcionalmente diferentes.

— Hilmar