¿Por qué la transformación de Fourier de un peine Dirac es un peine Dirac?

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Esto no tiene sentido para mí, porque la desigualdad de Heisenberg establece que $\Delta t\Delta \omega$ ~ 1.

Por lo tanto, cuando tienes algo perfectamente localizado en el tiempo, obtienes algo completamente distribuido en frecuencia. Por lo tanto, la relación básica $\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$ donde es el operador de transformación de Fourier . $\mathfrak{F}$

Pero para el peine Dirac , aplicando la transformada de Fourier, recibirá otro peine Dirac. Intuitivamente, también deberías obtener otra línea.

¿Por qué falla esta intuición?

fourier-transform

— Carlos - la mangosta - peligro
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Creo que la falacia es creer que un peine Dirac está localizado en el tiempo. No es porque sea una función periódica y, como tal, solo puede tener componentes de frecuencia en múltiplos de su frecuencia fundamental, es decir, en puntos de frecuencia discretos. No puede tener un espectro continuo, de lo contrario no sería periódico en el tiempo. Al igual que cualquier otra función periódica, un peine de Dirac puede representarse mediante una serie de Fourier, es decir, como una suma infinita de exponenciales complejos. Cada exponencial complejo corresponde a un impulso de Dirac en el dominio de frecuencia a una frecuencia diferente. Sumar estos impulsos de Dirac da un peine de Dirac en el dominio de la frecuencia.

— Matt L.
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Sí, ninguno de los peines periódicos está localizado en su respectiva variable independiente (tiempo / frecuencia).

— Peter K.

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Tu intuición falla porque estás comenzando con suposiciones equivocadas. La incertidumbre de Heisenberg no dice lo que piensas que dice. Como ya dijiste en tu pregunta, es una desigualdad . Para ser precisos, es

Δ t \cdot Δ f \geq \frac{1}{4 π}

$\Delta t \cdot \Delta f \geq\frac{1}{4\pi}$

No hay ninguna razón por la cual el producto de incertidumbre tiene que estar cerca de su límite inferior para todas las señales. De hecho, las únicas señales que alcanzan este límite más bajo son los átomos de Gabor. Para todas las demás señales, espere que sea más grande y posiblemente incluso infinito.

— Jazzmaniac
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Correcto, pero la falacia principal es pensar que un peine de Dirac está localizado en el tiempo. No es porque sea periódico. Entonces el teorema de incertidumbre no dice nada útil sobre un peine Dirac.

— Matt L.

@MattL., No es así como entiendo la pregunta original. Creo que en realidad está argumentando que el tren dirac está completamente deslocalizado en su dominio nativo y, por lo tanto, Fourier debería transformarse en algo muy localizado.

— Jazzmaniac

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OK, parece que hay un malentendido sobre lo que el OP quiere decir con 'otra línea'. Pensé que esto se refiere a un espectro plano (al igual que el espectro de un impulso de Dirac al que se refirió antes). Pero usted pensó que esto se refiere a una línea espectral, es decir, una sola frecuencia. Al menos ahora entiendo cómo su respuesta podría responder la pregunta del OP.

— Matt L.

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@MattL., En realidad pensé que se refería a la representación gráfica habitual de las distribuciones de Dirac cuando escribe "línea". En cualquier caso, tendrá que aclararlo, ya que la pregunta puede leerse realmente al menos de dos maneras diferentes.

— Jazzmaniac

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bueno, la definición "estándar" es una declaración física que relaciona las incertidumbres de momento y posición (específicamente las desviaciones estándar) y tiene un

allí. y aun así, en este caso, debe definir qué se entiende por "

" y "

". esa constante (que especificas como

ℏ

$\hbar$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

) no puede estar muy lejos de la unidad (en la escala logarítmica), pero no es necesario que sea

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

excepto debido a una definición específica para "

" y "

".

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

— Robert Bristow-Johnson

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Los ingenieros eléctricos juegan un poco rápido y suelto con la función delta de Dirac, que los matemáticos insisten en que no es una función (o, al menos, no una función "regular", sino una "distribución"). El hecho matemático es que si $f(t)=g(t)$ "casi en todas partes" (lo que significa en cada valor de $t$ excepto por un número contable de valores discretos), entonces

\int f (t) d t = \int g (t) d t

$\int f(t)dt = \int g(t)dt$ .

bueno, las funciones $f(t)=0$ y $g(t)=\delta(t)$ son iguales en todas partes excepto en $t=0$ , pero los ingenieros eléctricos insistimos en que sus integrales son diferentes. pero si deja de lado esta pequeña (y, en mi opinión, no práctica) diferencia, la respuesta a su pregunta es:

la función de peine de Dirac
${I I I}_{T} (t) ≜ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (t - k T)$ $\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$ es una función periódica del período $T$ y, por lo tanto, tiene una serie de Fourier: ${I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j 2 π n t / T}$ $\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$
si elimina los coeficientes, $c_n$ , de la serie de Fourier obtendrá:

\begin{aligned} c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} {I I I}_{T} (t) e^{- j 2 π n t / T} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n t / T} d t (k = 0) \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n 0 / T} d t \\ = \frac{1}{T} \forall n \end{aligned}

$\begin{align} c_n & = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} \mathrm{III}_T(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \quad \quad (k=0)\\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n 0/T} dt \\ & = \frac{1}{T} \quad \quad \forall n \\ \end{align}$

so the Fourier series for the Dirac comb is

{I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π n t / T}

$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \ e^{j 2 \pi n t/T}$

which means you're just summing up a bunch of sinusoids of equal amplitude.

the Fourier Transform of a single complex sinusoid is:

F {e^{j 2 π f_{0} t}} = δ (f - f_{0})

$\mathfrak{F} \left\{ e^{j 2 \pi f_0 t} \right\} = \delta(f-f_0)$

and there is this property of linearity regarding the Fourier Transform. the rest of the proof is an exercise left to the reader.

— robert bristow-johnson
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@Jazzmaniac, that's a falsehood. when have i ever been condescending toward mathematicians? (me thinks you're projecting a bit.) BTW, it's been 38 years since i have had 2 semesters of functional analysis at the graduate level. don't remember everything, but i sure do remember what a metric space is, a normed metric space (i think they were sometimes called "Banach spaces"), and inner product spaces (sometimes called "Hilbert spaces"), and what a functional is (maps from one of these to a number). and i know what linear spaces are. about

δ (t)

$\delta(t)$ , i don't mind them being naked.

— robert bristow-johnson

You go on with a wrong argument that suggests mathematicians don't get 1 when they integrate over a Dirac distribution. Well, you can't demonstrate any better that you haven't understood the Dirac distribution, even if you have taken a class on functional analysis. It doesn't need electrical engineers like you to "fix" mathematics. And I will keep pointing that out to you until you stop talking about mathematicians like that. It's entirely your choice.

— Jazzmaniac

that's a falsehood, too, @Jazzmaniac. i am saying that, consistent with what mathematicians tell us, the Dirac delta function is not really a function (even though we electrical engineers don't worry about that distinction and deal with it as if it were a function) because if it were a function that was zero almost everywhere, the integral would be zero. why do you keep misrepresenting me? what is the ax you're grinding?

— robert bristow-johnson

@robertbristow-johnson "electrical engineers play a little fast and loose with the Dirac delta function." Paul Dirac was an electrical engineer. Claude Shannon was also an electrical engineer. I admonish you from making such general and inaccurate statements. You claim to be an electrical engineer and clearly understand distribution theory.

— Mark Viola

nearly every undergraduate electrical engineering textbook on Linear System Theory or Signals and Systems or some similar name, will introduce and treat the Dirac Delta as a limiting case of a "nascent delta". e.g. :

δ (t) = lim_{a \to 0} \frac{1}{a \sqrt{π}} e^{- t^{2} / a^{2}}

$\delta(t) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/a^2}$ or some other unit area pulse function that you can make skinny. i would not be surprized that in published papers, folks like Shannon or Dirac (didn't know that) would stick with the conservative facts:

\int f (t) δ (t - τ) d t = f (τ)

$\int f(t) \delta(t-\tau) \ dt = f(\tau)$ and

δ (t) = 0 \forall t \neq 0

$\delta(t)=0 \quad \forall \ t \ne 0$ .

— robert bristow-johnson

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I shall try to give an intuition. The way we could probably think is : "One Dirac delta gives us a 1 in frequency domain. Now I give infinite number of Dirac deltas. Shouldn't I get a higher DC?" Now let us see whether by adding all those frequency components mentioned in the Dirac comb in the frequency domain(FD), we get another Dirac comb in time domain(TD). We are adding continuous waveforms and getting deltas at discrete points. Sounds weird.

Coming back to the FD. We have a Dirac comb with spacing $\omega_0$ . To put it in words, we have deltas at $0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$ and so on. We thus have a DC and infinite number of cosines, namely $\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$ and so on.

Let's consider points in time domain corresponding to $t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$ . All the above cosine waves will give us value 1. Hence they all add up and give us non zero value at those points. Now what about any other t? We need to get convinced that they will all add up to zero.

Now deviating slightly, let's consider a waveform $cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$ . We know that unless k can be expressed as a fraction multiplied by $\pi$ , it's aperiodic. What does that mean? There is not a single repeating sample. Each of the samples are unique. Looking it from another perspective, we have infinite number of samples which are unique and part of a cosine wave. This means taking all the infinite points, we will be able to construct a single CONTINUOUS cosine wave completely once. What if $cos(kn)$ is periodic? We already know that the sum of samples will be zero periodically based on value of k. Hence, sum of all the samples of $cos(kn)$ will give us zero for any value of k, except $k = 2\pi$ 's multiple.

Returning back to our original problem : We now take an arbitrary $t=t_0 \neq 2r\pi$ . Now we have $\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$ ....as the value at $t=t_0$ . But we have already proved this infinite sum =0 for any t except $t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$ , where all these cosines add up to give dirac deltas.

— Subramanian T R
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