¿Por qué hay un exponente negativo presente en la transformada de Fourier y Laplace?

¿podría alguien explicar por qué hay una necesidad de exponente negativo en la transformada de Fourier y Laplace? Miré a través de la web pero no pude obtener nada. ¿Sucede algo si se coloca un exponente positivo en estas transformaciones?

Mientras mira a través de http://1drv.ms/1tbV45S , dice que si se convierte en una función que disminuye rápidamente, mientras que si se convierte en una función que aumenta rápidamente de tI no podría entender eso. ¿Alguien puede ilustrar esto?$s>0$$s<0$

Matt tiene razón en que la señal es convencional. Sin embargo, creo que hay una razón para ello más allá de eso.

Si observamos frecuencias complejas en el plano complejo, se ven como vectores constantes que giran en una dirección u otra. Las frecuencias positivas giran en sentido antihorario, las negativas giran en sentido horario y las frecuencias "0 Hz" no giran en absoluto.

La transformada de Fourier tiene un signo negativo para rotar intencionalmente en la dirección opuesta a las frecuencias que están "buscando".

La razón de la rotación opuesta es que cuando los dos vectores de frecuencia se multiplican, sus fases se cancelarán repetidamente, por lo que cuando se sumen los resultados, habrá un vector masivo debido a la alineación de todos los vectores individuales.

$$X(f) = \sum\limits_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi kn/N}$$

Así es como la transformada de Fourier "busca" frecuencias. Si las dos frecuencias son iguales o "cercanas" (lo cerca que necesitan estar depende de la longitud del DFT) se alinearán bien y causarán una respuesta masiva en la suma. He mostrado cómo funciona esto para la transformada discreta de Fourier (DFT), pero el mismo razonamiento se aplica exactamente a la transformación continua.

Esperemos que esto explique por qué la transformada de Fourier querría que los vectores giraran en la dirección opuesta. Para ser sincero, no sé si Laplace se transforma lo suficientemente bien como para dar un razonamiento sólido para su signo negativo. Sin embargo, dado que las dos transformaciones están estrechamente relacionadas (la transformación de Laplace es una generalización de la transformación de Fourier), supongo que es por razones similares.

Para la transformación de Fourier, el signo del exponente es pura convención. Tenga en cuenta que para la transformación inversa tiene un signo positivo en el exponente. También podría definir la transformación de Laplace con un signo positivo en el exponente. En cualquier caso, desea que la amortiguación exponencial de la función del dominio del tiempo se transforme, por lo que la parte real del exponente complejo debe ser negativa. Si cambia a entonces la región de convergencia de la transformación unilateral de Laplace cambiaría de a para alguna constante con valor real .$s$$-s$$\Re\{s\}>a$$\Re\{s\}<a$$a$

Solo diría que la convención original es representar sinusoides complejos con un exponente positivo. entonces un voltaje "fasorial" sería

$$v(t) = V e^{j \omega t}$$

($V$ es una constante compleja y $|V|$ representa la magnitud del fasor y $\arg\{V\}$ representa la fase del fasor). Supongo que podríamos definir la convención como

$$v(t) = V e^{-j \omega t}$$

pero mi pregunta sería "¿por qué molestarse?"

¿Por qué un exponencial complejo? porque$e^{s t}$es una función propia (esencialmente la función propia) de los sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI), a los que aplicamos transformaciones de Fourier y Laplace. cuando$e^{s t}$ entra en un sistema LTI, algo veces $e^{s t}$ sale.

Los sistemas LTI pueden describirse completamente o tener su relación de entrada / salida completamente descrita por su respuesta al impulso $h(t)$. esa descripción es convolución:

$$y(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t-\tau) \ d \tau$$

si la entrada es

$$x(t) = e^{s t}$$

la salida es

$$\begin{align} y(t) & = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t-\tau) \ d \tau \\ & = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) e^{s (t-\tau)} \ d \tau \\ & = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) e^{-s \tau} \ d \tau \ \ e^{s t} \\ & = H(s) \ e^{s t} \\ & = H(s) \ x(t) \\ \end{align}$$

entonces $x(t)=e^{s t}$ es una función propia y el valor propio, lo que escala la función propia en un sistema LTI es $H(s)$ y directamente relacionado con $h(t)$.

entonces el resto es todo sobre Fourier. entonces Fourier generaliza un poco, primero con un periódico$x(t)$ que las posturas de Fourier que pueden representarse con sinusoides tienen el mismo período que $x(t)$.

$$x(t+T) = x(t) \quad \forall t$$

$$x(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{T} t}$$

sigue siendo la convención original: define la señal como un fasor $e^{j \omega t}$. queda el exponente positivo. $X[k]$son los "coeficientes de Fourier" .

entonces sabemos que la salida es

$$\begin{align} y(t) & = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} H\left(j \frac{2 \pi k}{T} \right) X[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{T} t} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} Y[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{T} t} \\ \end{align}$$

otra función periódica, que tiene el mismo período, pero con diferentes coeficientes de Fourier.

entonces positivo $\omega$ en el exponente

Entonces, ¿cuáles son esos coeficientes de Fourier?

$$\begin{align} \int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt & = \int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt \\ & = \int\limits_{0}^{T} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] e^{j \frac{2 \pi k}{T} t} e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt \\ & = \int\limits_{0}^{T} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t} \ dt \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] \int\limits_{0}^{T} e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t} \ dt \\ \end{align}$$

para cada $k$ en la suma donde $k \ne m$, la integral es cero, por lo que el término en la suma es cero.

$$\int\limits_{0}^{T} e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t} \ dt = \begin{cases} 0, & \text{for } k \ne m \\ T, & \text{for } k = m \end{cases}$$

para el término único distinto de cero, cuando $k=m$, tenemos

$$\int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt = X[m] T$$

entonces

$$X[m] = \frac{1}{T} \ \int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt$$

de ahí viene el exponente negativo. necesitamos que ese exponente sea negativo para que solo el$m^{\text{th}}$ término en el resumen sobrevive (cuando $k=m$ y $e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t}=1$), aislando así un solo $X[m]$entonces sabemos de qué se trata. de lo contrario sería el$-m^{\text{th}}$ término sobrevivir y tendríamos que cambiar la convención en nuestra definición original de $x(t)$.

esto sigue siendo esencialmente el caso, ya que la representación de la serie de Fourier se generaliza a no periódica $x(t)$, donde la suma se convierte en una integral. porque definimos nuestra señal como una especie de suma integral de estas funciones propias exponenciales (con exponentes positivos):

$$x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} X(j \omega) e^{j \omega t} \ d \omega$$

de nuevo, para obtener esos "coeficientes" de Fourier, necesitamos un exponente negativo:

$$X(j \omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} dt$$

Laplace generaliza aún más al permitir ese valor puramente imaginario $j \omega$ para ser un valor complejo más general, $s = \sigma + j \omega$. pero eso no cambia la convención de signos.

El exponente negativo en la transformación directa es necesario e inevitable, porque los axiomas internos del producto para vectores complejos o funciones sin conjugación son inconsistentes.

Por ejemplo, el producto interno de un vector complejo consigo mismo no sería real y no negativo sin conjugación.