Resolviendo un problema de convolución de una señal 1D

Me encuentro en problemas tratando de resolver este ejercicio. Tengo que calcular la convolución de esta señal:

y (t) = e^{- k t} u (t) \frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(π t)}

$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$

donde es la función Heavyside $u(t)$

Bueno, apliqué la fórmula que dice que la convolución de estas dos señales es igual a

Y (f) = X (f) \cdot W (f)

$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$

donde es la transformada de Fourier de la primera señal y es la transformada de Fourier de la segunda señal $X(f)$ $W(f)$

bien la transformada de Fourier de es $e^{-kt}u(t)$

X (F) = \frac{1}{k + j 2 π F}

$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$

Tengo que hacer que la segunda señal sea lo más igual posible a $\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

entonces hago esta operación:

\frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(\frac{π t}{10})} (\frac{1}{10})

$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$ esto es igual

(\frac{1}{10}) sinc (\frac{t}{10})

${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

¿Cierto o no?

— Mazzy
fuente

Me parece correcto Una advertencia: algunas definiciones de sinc incluyen pi en los parámetros, como lo ha hecho, y algunas lo asumen (es decir, habrían escrito sinc (t / 10)). Cualquiera de los dos está bien, siempre y cuando entiendas lo que estás haciendo.

— Jim Clay

También tenga en cuenta que la transformada inversa de Fourier de

es el resultado de convolución que busca. Usar la dualidad entre convolución en el dominio del tiempo y multiplicación en el dominio de la frecuencia no necesariamente lo ayudará a determinar analíticamente el resultado de la convolución si la transformación inversa es difícil de hacer.

Y (f)

$Y(f)$

— Jason R

Aunque me doy cuenta de que esta es una respuesta muy tardía, intentaré responder esta pregunta porque me parece instructiva y también porque el número de votos positivos sugiere que esta pregunta es de interés general para la comunidad.

Como ya se ha sugerido en la pregunta, vamos a definir dos señales y como $x(t)$ $w(t)$

x (t) = e^{- k t} u (t), k > 0 w (t) = \frac{\sin (π t / 10)}{π t}

$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$

Una posible interpretación de la convolución es que una señal amortiguada exponencialmente es filtrada por un filtro de paso bajo ideal con respuesta de impulso . En la pregunta también se señaló correctamente que la convolución en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación en el dominio de la frecuencia. La integral de Fourier de se puede calcular fácilmente: $(x*w)(t)$ $x(t)$ $w(t)$ $x(t)$

X (j ω) = \int_{0}^{\infty} e^{- k t} e^{- j ω t} d t = \frac{1}{k + j ω}

$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$

$w(t)$ $\omega_0=2\pi f_0$

\begin{matrix} (1) & h_{L P} (t) = \frac{\sin ω_{0} t}{π t} \end{matrix}

$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$

$w(t)$ $w(t)$ $\omega_0=\pi/10$

W (j ω) = u (ω + ω_{0}) - u (ω - ω_{0})

$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$

u (ω)

$u(\omega)$

$y(t)=(x*w)(t)$ $Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$

y (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (j ω) W (j ω) e^{j ω t} d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- ω_{0}}^{ω_{0}} \frac{1}{k + j ω} e^{j ω t} d ω

$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$

$\text{Ei}(x)$ $\text{Si}(x)$ $\text{Ci}(x)$

$y(t)$ $k=0.05$ $\omega_0=\pi/10$ ingrese la descripción de la imagen aquí

$x(t)$ $y(t)$ $y(t)$ $t<0$ $\omega_0=\pi$ $\pi/10$

ingrese la descripción de la imagen aquí

— Matt L.
fuente

¿Quizás una mejor interpretación sería una entrada de función sinc aplicada a un filtro de paso bajo de primer orden físicamente realizable cuya respuesta al impulso es el exponencial decadente?

— Dilip Sarwate

Claro que es otra interpretación válida, pero ¿por qué mejor? OK, el sistema puede realizarse pero no la señal de entrada. Un filtro de paso bajo ideal es un sistema estándar que a menudo se analiza y se utiliza con fines instructivos, aunque no se puede realizar. De todos modos, afortunadamente el resultado sigue siendo el mismo :)

— Matt L.