¿Cuál es la secuencia

9

¿Cuál es la de la secuencia para ? $\mathcal Z$ $J_0(\alpha n)$ $n \in \mathbb{Z}$

La transformación de Fourier de cero orden Bessel función se sabe que es para . Esto tiene un polo en . ¿Esto implica que la -transform también tendrá un polo en el círculo unitario? $^{\rm th}$ $J_0(\alpha x)$ $\frac{2}{\sqrt{\alpha^2 - \omega^2}}$ $|\omega| < \alpha$ $\omega = \alpha$ $\mathcal Z$

EDITAR:

El problema que estoy viendo involucra muestras discretas de la función de Bessel, es decir, $J_0(n)$ . ¿Cómo debo proceder para determinar su $\mathcal Z$ -transform?

fourier-transform z-transform

— sauravrt
fuente

Tengo curiosidad, ¿cuál es la aplicación para esto?

— nibot

@nibot Estoy trabajando con el modelo de ruido isotrópico y para el caso 2D, los elementos de la matriz de covarianza de ruido son funciones de Bessel de orden cero de primer tipo. Y los valores propios de la cov. La matriz está relacionada con la transformada Z de la secuencia de funciones de Bessel.

— sauravrt

2

La expansión de Taylor para la función Bessel de primer tipo y orden 0 es

J_{0} (x) = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{m}}{(m!)^{^{2}}} {(\frac{1}{2} x)}^{2 m}

$J_{0}\left ( x \right )= \sum_{m=0}^{\infty }\frac{(-1)^{m}}{(m!)^{^{2}}}\left ( \frac{1}{2}x \right )^{2m}$

(ver http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function )

Entonces, básicamente, puede aproximar esto como la transformación Z de un polinomio.

— Hilmar
fuente

1

Puede aplicar la definición de -transform a una expresión equivalente de la función Bessel, o a una aproximación. $\mathcal Z$

La función equivalente puede ser:

\begin{aligned} J_{0} (x) & = \frac{1}{π} \cos (x \cos ϕ) d ϕ \\ = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} (1 - \frac{x^{2} \cos^{2} ϕ}{2!} + \frac{x^{4} \cos^{4} ϕ}{4!} - \frac{x^{6} \cos^{6} ϕ}{6!} + \dots) d ϕ \end{aligned}

$\begin{align} J_0(x) &= \frac 1\pi\cos\left(x\cos\phi\right)d\phi\\ &=\frac 1\pi\int_0^\pi\left(1-\frac{x^2\cos^2\phi}{2!}+\frac{x^4\cos^4\phi}{4!}-\frac{x^6\cos^6\phi}{6!}+\cdots\right)d\phi \end{align}$

Actualización :

Más información sobre expresiones equivalentes está aquí .

— Luis Andrés García
fuente

1

A la aproximación para le falta el signo integral en el primer paso. No puedo verte para obtener la transformación Z aproximada. Tuve otra idea, usando la aproximación . Probé este enfoque y terminé con la transformación Z que involucra la función polilogarítmica (Usado Mathematica).

J_{0} (x)

$J_0(x)$

J_{0} (x) = \sqrt{(} \frac{2}{x π} c o s (x - π / 4)

$J_0(x) = \sqrt(\frac{2}{x \pi} cos(x - \pi/4)$

— sauravrt

Creo que la aproximación de la que está hablando es una aproximación para la función Bessel modificada del primer tipo (si la memoria me sirve). La es el argumento de la función, no como en -transform. Está señalando que en lugar de evaluar la suma de la transformación directamente, podría usar alguna otra forma que sea equivalente o aproximadamente equivalente a la función de interés que podría ser más fácil de transformar.

I_{0} (z)

$I_0(z)$

z

$z$

z

$z$

z

$z$

z

$z$

— Jason R

Su apreciación sobre la aproximación era cierta. He editado mi respuesta.

— Luis Andrés García