Diferencia entre transformada de Fourier de tiempo discreto y transformada de Fourier discreta

He leído muchos artículos sobre DTFT y DFT, pero no puedo discernir la diferencia entre los dos, excepto algunas cosas visibles como DTFT va hasta el infinito, mientras que DFT es solo hasta N-1. ¿Alguien puede explicar la diferencia y cuándo usar qué? Wiki dice

La DFT difiere de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) en que sus secuencias de entrada y salida son finitas; Por lo tanto, se dice que es el análisis de Fourier de las funciones de tiempo discreto de dominio finito (o periódico).

¿Es la única diferencia?

Editar: este artículo explica muy bien la diferencia

La transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) es la transformada de Fourier (convencional) de una señal de tiempo discreto. Su salida es continua en frecuencia y periódica. Ejemplo: para encontrar el espectro de la versión muestreada de una señal de tiempo continuo x ( t ) se puede usar el DTFT.$x(kT)$$x(t)$

La transformada discreta de Fourier (DFT) puede verse como la versión muestreada (en dominio de frecuencia) de la salida DTFT. Se usa para calcular el espectro de frecuencia de una señal de tiempo discreto con una computadora, porque las computadoras solo pueden manejar un número finito de valores. Yo diría que la salida DFT es finita. También es periódico y, por lo tanto, puede continuarse infinitamente.

Para resumirlo:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Una propiedad matemática de la DFT es que tanto su entrada y salida son periódicas con la longitud DFT . Es decir, aunque el vector de entrada al DFT es finito en la práctica, solo es correcto decir que el DFT es el espectro muestreado si se piensa que la entrada DFT es periódica.$N$

Muy bien, voy a responder a esto con un argumento que tienen los "oponentes" a mi rígida posición nazi con respecto al DFT.

En primer lugar, mi posición rígida, nazi : la serie DFT y la serie discreta de Fourier es la misma. el DFT asigna una secuencia infinita y periódica, $x[n]$ con el período $N$ en el dominio "tiempo" a otra secuencia infinita y periódica, $X[k]$ , nuevamente con el período $N$ , en el dominio "frecuencia". y el iDFT lo mapea de nuevo. y son "inyectables" o "invertibles" o "uno a uno".

$$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$$

$$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$$

eso es fundamentalmente lo que es el DFT. es inherentemente una cosa periódica o circular.

pero a los negadores de periodicidad les gusta decir esto sobre el DFT. es cierto, simplemente no cambia nada de lo anterior.

$x[n]$$N$

$$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

ahora, esta secuencia infinita que no se repite tiene un DTFT:

DTFT:

$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ es la transformación Z de evaluada en el círculo unitario para infinitamente muchos reales valores de . ahora, si tuviera que probar esa DTFT en puntos igualmente espaciados en el círculo unitario, con un punto en , obtendrías$\hat{x}[n]$$z=e^{j\omega}$$\omega$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$$N$$z=e^{j\omega}=1$

$$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$$

así es como se relacionan DFT y DTFT. muestrear la DTFT a intervalos uniformes en el dominio de "frecuencia" hace que, en el dominio de "tiempo", la secuencia original sea ​​repetida y desplazada por todos los múltiplos de y añadida solapada. eso es lo que causa el muestreo uniforme en un dominio en el otro dominio. pero, dado que se supone que es fuera del intervalo , esa suma de superposición no hace nada. solo extiende periódicamente la parte distinta de cero de , nuestra secuencia original de longitud finita, .$\hat{x}[n]$$N$$\hat{x}[n]$$0$$0 \le n \le N-1$$\hat{x}[n]$$x[n]$

Como la salida DTFT es continua, no se puede procesar con computadoras. Entonces tenemos que convertir esta señal continua en forma discreta. No es más que DFT como un avance adicional en FFT para reducir los cálculos.

Si estoy en lo correcto, incluso si la entrada DFT es periódica, aunque el número de muestras es finito, las matemáticas detrás de esto lo tratan como una secuencia infinita que comienza periódicamente las Nmuestras después de su finalización. Por favor, corríjame si estoy equivocado.

DFT: SU INVERSIÓN SERÁ: x [ n ] =

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$$ $$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$$