¿Cuándo es bueno usar alias?

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En el libro de Hamming, El arte de hacer ciencia e ingeniería , relata la siguiente historia:

Un grupo de la Escuela Naval de Posgrado modulaba una señal de frecuencia muy alta hasta donde podían permitirse muestrear, de acuerdo con el teorema de muestreo tal como lo entendieron. Pero me di cuenta de que si saboreaban hábilmente la alta frecuencia, el acto de muestreo lo modularía (alias). Después de algunos días de discusión, retiraron el estante del equipo de reducción de frecuencia, ¡y el resto del equipo funcionó mejor!

¿Hay alguna otra forma de utilizar el alias como técnica principal para procesar una señal, en lugar de evitar un efecto secundario?

sampling bandpass

— Datageist
fuente

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Tenga cuidado con el efecto de integración (efecto de apertura) que efectivamente pone un ancho de banda de corte en el transductor. Las señales entrantes que están por encima del ancho de banda de corte debido al efecto de integración no se captarán, por lo que no hay forma de utilizar alias en frecuencias demasiado altas.

— rwong

@rwong Muy interesante.

— Datageist

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El texto citado en la pregunta es un caso de uso de muestreo de paso de banda o submuestreo .

Aquí, para evitar distorsiones de alias , la señal de interés debe ser paso de banda . Eso significa que el espectro de potencia de la señal solo es distinto de cero entre . $f_L < |f| < f_H$

Si muestreamos la señal a una velocidad , entonces la condición de que los espectros repetidos posteriores no se superpongan significa que podemos evitar el aliasing. Los espectros repetidos ocurren en cada múltiplo entero de . $f_s$ $f_s$

Matemáticamente, podemos escribir esta condición para evitar distorsiones de alias como

\frac{2 f_{H}}{n} \leq f_{s} \leq \frac{2 f_{L}}{n - 1}

$\frac{2 f_H}{n} \le f_s \le \frac{2 f_L}{n - 1}$

donde es un número entero que satisface $n$

1 \leq n \leq \frac{f_{H}}{f_{H} - f_{L}}

$1 \le n \le \frac{f_H}{f_H - f_L}$

Hay varios rangos de frecuencia válidos con los que puede hacer esto, como se ilustra en el diagrama a continuación (tomado del enlace de wikipedia anterior).

ingrese la descripción de la imagen aquí

En el diagrama anterior, si el problema radica en las áreas grises, entonces podemos evitar la distorsión de alias con el muestreo de paso de banda --- aunque la señal muestreada tenga un alias, no hemos distorsionado la forma del espectro de la señal.

— Peter K.
fuente

2

Peter, ¿podrías ampliar tu respuesta al proporcionar más detalles y algunas ilustraciones de los artículos vinculados? Digo esto porque el pdf es un enlace a la página web personal de alguien y si quitan el archivo, ¡la respuesta pierde toda ayuda! En general, ayuda si uno parafrasea la información de los enlaces para que la respuesta sea autosuficiente e inmune a la putrefacción de los enlaces. Además, creo que el OP solicitó aplicaciones distintas al muestreo de paso de banda en el que el efecto de aliasing se usa deliberadamente para su beneficio.

— Lorem Ipsum

@yoda: lo haré. No hay tiempo en este momento (¡tengo que cortar el césped!), Pero volveré más tarde hoy

— Peter K.

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¡Gracias! Re: cortar el césped, ya que usted tiene césped y quizás también un jardín, ¿podría interesarle en el sitio de jardinería ? Soy moderador en ese sitio y tenemos buenos consejos sobre cómo cultivar / mantener céspedes y reparar céspedes . ¡Visítanos y no dudes en hacernos cualquier pregunta relacionada con verduras / flores / árboles / compost, etc.!

— Lorem Ipsum

@yoda: Gracias por la edición. ¡No me di cuenta de que así es como obtienes displaystyle! :-)

— Peter K.

2

Puede submuestrear sin que la señal sea un paso de banda, siempre que la frecuencia de la imagen de la señal deseada se muestre por delante de la muestra. Con las relaciones de frecuencia correctas, puede muestrear dos señales, una por encima y otra por debajo de la frecuencia de muestreo, siempre que las señales y las imágenes no se superpongan después del aliasing. También tenga en cuenta que el submuestreo es mucho menos tolerante al jitter de muestreo.

— hotpaw2

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Una instancia que salta a la mente es la demodulación digital. El detector óptimo para un esquema de modulación lineal se combina con filtrado y diezmado en la muestra central de cada símbolo.

Es posible que el filtrado coincidente no haga un muy buen trabajo al reducir el ancho de banda, pero aún queremos tomar decisiones a la velocidad de los símbolos.

El alias de la energía en este caso es parte de la reconstrucción de los símbolos modulados.

El punto clave es que la energía debe alias coherentemente en la fase correcta, es decir, el tiempo es crucial.

— Mark Borgerding
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La superresolución es otra área en la que es necesario el alias, o para decirlo mejor, el sistema óptico no debería ser el eslabón más débil de la cadena (y los componentes ópticos que efectivamente no sean alias, como los filtros ópticos antirruido) La cadena)

— Aurelio
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Otra vez cuando el alias no es un problema es cuando se diseñan filtros de paso bajo utilizados para la aniquilación. Puede permitir una cierta cantidad de alias después de la operación de diezmado para relajar las restricciones en el rendimiento del filtro, lo que resulta en un diseño de orden inferior. En lugar de colocar el borde de la banda de detención en la frecuencia de Nyquist posterior al diezmado, puede deslizarlo lo suficiente como para que no se alias de nuevo en la banda de paso del filtro (y por lo tanto corromper su señal de interés).

$f_s$ $D$ $f_p$ $\frac{f_s}{2 D}$

$\frac{f_s}{2 D} + \Delta f$ $\frac{f_s}{2 D} - \Delta f$ $f_{stop} = \frac{f_s}{2 D} + \Delta f$ $\Delta f$

f_{s t o p_{a l i a s e d}} = \frac{f_{s}}{2 D} - Δ f \geq f_{p}

$f_{stop_{aliased}} = \frac{f_s}{2 D} - \Delta f \ge f_p$

Δ f \leq \frac{f_{s}}{2 D} - f_{p}

$\Delta f \le \frac{f_s}{2 D} - f_p$

La conclusión de esto es que si todavía hay una cantidad decente de sobremuestreo presente en la señal post diezmada ( hay algunas razones por las que haría esto ), entonces puede empujar la banda de detención por una cantidad no trivial. Como medida cuantitativa, puede observar las relaciones de transición de las especificaciones de filtro "ingenuo" y "relajado":

T_{n a i v e} = \frac{f_{p}}{f_{s t o p_{n a i v e}}} = \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{2 D}} = \frac{2 D f_{p}}{f_{s}}

$T_{naive} = \frac{f_p}{f_{stop_{naive}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}} = \frac{2 D f_p}{f_s}$

T_{r e l a x e d} = \frac{f_{p}}{f_{s t o p_{r e l a x e d}}} = \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{2 D} + (\frac{f_{s}}{2 D} - f_{p})} = \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{D} - f_{p}}

$T_{relaxed} = \frac{f_p}{f_{stop_{relaxed}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D} + (\frac{f_s}{2 D} - f_p)} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}$

\frac{T_{r e l a x e d}}{T_{n a i v e}} = \frac{\frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{D} - f_{p}}}{\frac{2 D f_{p}}{f_{s}}}

$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{\frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}}{\frac{2 D f_p}{f_s}}$

\frac{T_{r e l a x e d}}{T_{n a i v e}} = \frac{1}{2 - \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{2 D}}}

$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{1}{2 - \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}}}$

Esta última expresión le brinda una representación compacta de la mejora en la relación de transición que puede obtenerse relajando la especificación del filtro de esta manera, parametrizada por la relación de la banda de paso del filtro (es decir, el ancho de banda de la señal de interés) a la frecuencia de Nyquist posterior al diezmado . Al trazar esta relación en función de la frecuencia de la banda de paso (normalizada por la frecuencia de muestreo posterior al diezmado), obtiene:

$\frac{f_s}{D}$

— Jason R
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El alias puede ser algo bueno bajo ciertas condiciones.

Míralo de esta manera: digamos que tu frecuencia de muestreo es de 100 Hz. Digamos también que tiene una señal en algún lugar, que se encuentra desde, por ejemplo, 990 a 1010 Hz. (Por lo tanto, su ancho de banda total es de 20 Hz y está centrado en 1000 Hz).

Ok genial, ahora que?

Supongamos que muestreas esta señal a tu frecuencia de 100 Hz. Todo lo que sucede, es que su señal (sentada desde 990-1010, centrada a 1000Hz) se copia y se desplaza a múltiplos enteros de 100 ¿verdad?

Entonces, de repente, tiene una copia de su señal original 990-1010, excepto que ahora tiene una centrada en 900, 800, 700, 600, etc., y también 1100, 1200, 1300, etc. El BW es el Lo mismo por supuesto. Entonces, su copia de su señal centrada en 900 ocupa 890-910 Hz. La copia que se encuentra a 800 Hz ocupa 790-810 Hz, y así sucesivamente. También tendrá una copia en 'banda base', (lo que significa que está centrada a 0Hz, y por lo tanto ocupa -10 a 10Hz).

Entonces, ¿cuándo es útil? Bueno, mira lo que acabas de hacer: ¡solo lograste tomar tu señal a 1000Hz, ponerla en la banda base y todo esto con una muestra funcionando a solo 100Hz! ¡Y adivina qué! ¡Hiciste todo esto legalmente según Nyquist!

Esto se debe a que Nyquist no dice que tenga que muestrear al menos dos veces la frecuencia máxima: ¡mal mal mal mal mal! (Pero una idea errónea muy común). Dice que debe muestrear al menos el doble del ancho de banda máximo de su señal, que en este caso es de 20Hz.

Aplicaciones? Bueno, muchas estaciones base para teléfonos celulares realmente usan esta técnica de 'submuestreo'. Entonces, la señal de su teléfono celular se encuentra en un rango alto de Ghz, y la estación base está muestreando en el rango de cientos de Mhz.

Y, por cierto, viendo cómo funciona realmente Nyquist, no me gusta el término 'submuestreo', porque eso implica que estamos, por ejemplo, submuestreo. Pero nosotros no! Seguimos completamente a Nyquist y siempre tomamos muestras de al menos el doble del ancho de banda máximo de la señal en cuestión.

— Spacey
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La respuesta mejor calificada aquí ya hablaba sobre submuestreo con algún detalle. También es un poco engañoso sugerir que las estaciones base celulares muestrean directamente en radiofrecuencia y usan submuestreo. Si bien puede haber algún elemento de submuestreo utilizado, los buenos receptores suelen descender de RF a una frecuencia intermedia (IF) adecuada para el muestreo. Entre muchas otras razones, el muestreo en las zonas superiores de Nyquist es mucho más sensible al jitter de tiempo de muestreo, por lo que no querrá hacer esto para una señal de decenas de MHz centrada a 1-2 GHz, por ejemplo.

— Jason R

Yoda, gracias por los consejos, esta es mi primera publicación. :-) No sé sobre 'yo-bro'speak al que te refieres, ¡soy un orador / escritor apasionado en general! ¡Sin embargo, mantendré límites a las siglas! :-) Jason, para las estaciones base, dije cientos de MHz, no decenas. Usé 20Hz en el ejemplo. Personalmente he trabajado en esas estaciones y funcionan bien. :-)

— Spacey