Transformada de Fourier de tiempo discreto

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Soy un estudiante de secundaria que tiene una fascinación general por la electrónica, la programación y cosas por el estilo. Recientemente, he estado aprendiendo sobre el procesamiento de señales.

Desafortunadamente, todavía no he hecho mucho cálculo (perdóname), así que estoy un poco confuso en las cosas.

Si calculara la DTFT de una señal, ¿cuál sería la diferencia entre una representación o de esa señal? $\sin$ $\cos$
Con el DTFT entiendo que la señal que ingrese sería discreta en el tiempo, pero ¿cómo puede lograr una señal continua en el dominio de la frecuencia?
Esto lleva a mi segunda pregunta, que es: ¿cómo es útil la DTFT? ¿Dónde se ha utilizado con la mayoría de las aplicaciones y por qué?

Apreciaría cualquier ayuda.

fourier-transform

— ElectroNerd
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Para mi primera pregunta, supongo que está simplemente 90 ° fuera de fase. Sin embargo, he producido algunos gráficos que indican lo contrario: i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/… i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/…

— ElectroNerd

Excelentes preguntas Creé una (s) respuesta (s) a esos problemas, especialmente en lo que respecta a cómo DSP es traído a la mente de los jóvenes. (Esto es especialmente cierto en el nivel universitario). Envíame un correo electrónico y puedo mostrarte parte del material (demasiado complicado para publicar aquí).

— Spacey

@Mohammad: Hola, ¿puedes compartir esos materiales conmigo en abidrahman2@gmail.com?

— Abid Rahman K

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Es genial que esté interesado en el procesamiento de señales en esa etapa temprana de su camino educativo.

El mejor camino para llegar allí es leer algunos libros de introducción sobre el tema. Hay muchos recursos en línea buenos y gratuitos para comenzar. [Nota para el estimado editor: los buenos libros de introducción pueden ser un tema realmente bueno para un "pegajoso"]. A veces uso

Uno de los conceptos matemáticos más importantes que necesitará para manejar sus brazos son los números "complejos". Es claramente un nombre inapropiado ya que en realidad no es tan complicado y claramente hace que casi todas las matemáticas de ingeniería sean mucho más simples. Otro gran recurso gratuito para todo lo relacionado con las matemáticas es http://www.khanacademy.org y en este caso específicamente http://www.khanacademy.org/video/complex-numbers--part-1?topic=core-algebra

Volviendo a su primera pregunta: en realidad, hay cuatro sabores diferentes de la Transformada de Fourier: Serie de Fourier (más probable que aparezca en la escuela secundaria), Transformada de Fourier, Transformada de Fourier discreta y Serie de Fourier discreta. Todos ellos usan una combinación de seno y coseno (o un exponencial complejo, que es esencialmente lo mismo). Necesitarás ambos.

Supongamos que calcula los coeficientes de Fourier seno y coseno de una onda sinusoidal de entrada. (Bajo ciertas condiciones) encontrará que todos los coeficientes de Fourier serán cero, excepto un coeficiente coseno y uno senoidal. Sin embargo, dependiendo de la fase de la onda sinusoidal de entrada, estos dos números se moverán. Puede obtener [0.707 0.707], o [1 0], o [0 -1], o [-0.866 0.5] etc. Verá que la suma de los cuadrados de esos dos números siempre será 1, pero el valor real los valores dependen de la fase de la onda sinusoidal de entrada.

Si desea bucear en profundidad, intente esto: http://www.dsprelated.com/dspbooks/mdft/

— Hilmar
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Hola Hilmar, gracias por la respuesta! He hecho bastante con números complejos y tengo que estar de acuerdo: son relativamente simples. Es bueno oír eso. Después de jugar un poco más, calculé la magnitud de una señal de entrada de pecado y cos al DTFT y descubrí que la amplitud era la misma tanto para sin como para cos. Gracias especialmente por los libros de referencia, estaré ocupado por un tiempo ahora.

— ElectroNerd

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Es posible que desee ver los materiales disponibles a través de

El Proyecto INFINITY: expandiendo la educación en ingeniería basada en el procesamiento de señales al aula de la escuela secundaria

disponible aquí

— Dilip Sarwate
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Esto se ve muy interesante; Puedo intentar recomendarlo a mi escuela.

— ElectroNerd

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La Transformada de Fourier de tiempo discreto DTFT toma una señal infinita discreta ya que su entrada y su salida en el dominio de frecuencia es continua y tiene un período 2 * pi. En cuanto a su uso, en mi experiencia DFT (Discrete Fourier Transform) es la que se utiliza con fines prácticos. Bajo ciertas condiciones, es fácil demostrar que la DFT de una señal finita no periódica no es más que muestras equidistantes de DTFT. En general, si ponemos a cero la secuencia en el dominio de tiempo (o espacio) obtenemos más y más muestras de DTFT.

La conclusión es que DFT es muy útil y DFT puede verse como muestras de DTFT igualmente espaciadas, para obtener más muestras de DTFT, hacer un pad cero de la señal ayuda.

— pv.
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Eso tiene sentido: me dijeron que cuanto más tiempo muestree en el dominio del tiempo, más fina será la resolución en el dominio de la frecuencia una vez que calcule la DTFT. He grafica esta utilizando Python y matplotlib ( Sine + relleno de ceros , DTFT de relleno de ceros Eso es un buen truco para hacerlo.

— ElectroNerd

Tengo que decir que tienes que tener cuidado aquí. Una gran idea errónea es que el relleno de cero de su señal aumenta la resolución de su frecuencia, no lo hace. La única forma de aumentar realmente la resolución de su frecuencia es tener más datos, más muestras de dominio de tiempo. Ahora dicho esto, el relleno cero ayuda si quieres ver tu espectro de frecuencia con puntos interpolados entre lo que realmente calculaste.

— Spacey

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En primer lugar, ayuda a resolver la terminología:

Una función en el dominio del tiempo se conoce como señal .
Una función en el dominio de la frecuencia se conoce como espectro .

a_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) \cos n x d x

$a_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\cos{nx}}\mkern3mudx$

b_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) \sin n x d x

$b_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\sin{nx}}\mkern3mudx$

s_{f} (x) = \frac{a_{n}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (n x) + b_{n} s i n (n x)

$s_f(x)=\frac{a_n}2+\sum_{n=1}^\infty{a_n\cos(nx)+b_nsin(nx)}$

s_{f} (x) = s (x)

$s_f(x)=s(x)$

En esta ecuación, a _n y b _n son las partes real e imaginaria del espectro discreto, respectivamente. Por lo tanto, como puede ver, la transformada de Fourier de un coseno será un número real, y para un seno, será un número imaginario. La T en la integral significa que estamos integrando durante un período completo de la señal. Esto se usa principalmente en lo que se llama análisis armónico, que he usado principalmente al analizar circuitos analógicos con señales no sinusoidales (ondas cuadradas, ondas triangulares, etc.) Pero, ¿qué pasa si la señal no es periódica? Esto no funciona, y tenemos que recurrir a la transformación de Fourier.

La transformada de Fourier convierte una señal continua en un espectro continuo. A diferencia de la serie de Fourier, la transformación de Fourier permite que la función que no sea de período se convierta en un espectro. Una función no periódica siempre da como resultado un espectro continuo.

La transformada de Fourier en tiempo discreto logra el mismo resultado que la transformada de Fourier, pero funciona en una señal discreta (digital) en lugar de una señal continua (analógica). El DTFT puede generar un espectro continuo porque, como antes, una señal no periódica siempre producirá un espectro continuo, incluso si la señal en sí misma no es continua. Aún habrá un número infinito de frecuencias en la señal, aunque sea discreta.

Entonces, para responder a su pregunta, el DTFT es posiblemente el más útil, ya que funciona con señales digitales y, por lo tanto, nos permite diseñar filtros digitales. Los filtros digitales están lejosmás eficiente que las analógicas Son mucho más baratos, mucho más confiables y mucho más fáciles de diseñar. El DTFT se usa en varias aplicaciones. Fuera de mi cabeza: sintetizadores, tarjetas de sonido, equipos de grabación, programas de reconocimiento de voz y habla, dispositivos biomédicos y muchos otros. El DTFT en su forma pura se usa principalmente para el análisis, pero el DFT que toma una señal discreta y produce un espectro discreto está programado en la mayoría de las aplicaciones anteriores, y es una parte integral del procesamiento de la señal en informática. La implementación más común del DFT es la Transformada rápida de Fourier. Es un algoritmo recursivo simple que se puede encontrar aquí . ¡Espero que esto ayude! Siéntase libre de comentar si tiene alguna pregunta.

— Zetta Suro
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Como pv. dicho DFT se obtiene muestreando el DTFT en "dominio de frecuencia". Como sabrán, se obtiene una señal de tiempo discreto muestreando una señal de tiempo continuo. Sin embargo, para construir la señal de tiempo continuo perfectamente a partir de su contraparte de tiempo discreto, la frecuencia de muestreo DEBE ser mayor que la frecuencia de Nyquist. Para que esto suceda, la señal de tiempo continuo tiene que estar limitada en frecuencia.

Para DTFT y DFT, la historia se invierte de alguna manera. Tiene DTFT que es continuo en el dominio "Frecuencia". Básicamente no puede almacenar una señal continua y procesarla en una computadora. ¡La solución es el muestreo! Entonces, tomas muestras de la DTFT y llamas al resultado DFT. Sin embargo, de acuerdo con el teorema de muestreo para reconstruir la DTFT perfectamente a partir de DFT, la contrapartida en el dominio del tiempo de DTFT DEBE tener un "tiempo" limitado. Es por eso que uno tiene que usar ventanas antes de tomar el DFT.

— Sina
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