¿Es el núcleo gaussiano discreto una función propia del DFT?

Entonces, la función gaussiana es una función propia de la transformada de Fourier porque se transforma en sí misma, ¿verdad?

Pero esto no es cierto para el Gaussiano muestreado en el DFT porque las colas de la función están truncadas, ¿verdad?

Wikipedia describe un núcleo gaussiano discreto aquí y aquí , que es diferente del gaussiano discretamente muestreado :

la contraparte discreta del gaussiano continuo en que es la solución a la ecuación de difusión discreta (espacio discreto, tiempo continuo), así como el gaussiano continuo es la solución a la ecuación de difusión continua

¿Eso significa que también DFT se transforma exactamente en sí mismo? Si no es así, ¿existe una función similar a la gaussiana similar?

— endolito
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Dado que el DFT es representable por multiplicación con la matriz de Fourier, su pregunta es equivalente a preguntar cuáles son los vectores propios de la matriz de Fourier.

En realidad, Wikipedia proporciona la respuesta ( http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform#Eigenvalues_and_eigenvectors ).

Sin embargo, desde los valores propios ( $1, -1, i, -i$ ) no son simples, los vectores propios no son únicos (es decir, las combinaciones lineales también son vectores propios). Tampoco existe una fórmula cerrada simple.

Wikipedia proporciona una fórmula para un vector propio cercano a lo que pides

F_{m} = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \exp (- \frac{π \cdot (m + N \cdot k)^{2}}{N}) m = 0, \dots, N - 1

$F_m = \sum_{k = -\infty}^\infty \exp\left(-\frac{\pi\cdot(m+N\cdot k)^2}{N}\right) \quad\quad\quad m = 0,\ldots,N-1$

En conclusión, la función gaussiana en sí no es un vector propio, sino una suma infinita de gaussianos. La suma infinita probablemente puede interpretarse como equivalente a la discretización del dominio de frecuencia y tiempo cuando pasamos del FT al DFT. Por lo tanto, no es tan simple, como simplemente truncar el gaussiano discreto.

— Andreas H.
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¿No es una suma infinita de gaussianos todavía un gaussiano?

— TheGrapeBeyond

No, la convolución de los gaussianos sigue siendo gaussiana. La suma es gaussiana solo si tienen la misma posición y ancho. Esta función aquí es realmente un período de un tren de pulsos gaussiano discreto. Por lo tanto, ni siquiera parece un gaussiano.

— Andreas H.

Ah, ya veo. En otras palabras, esta suma es esencialmente un tren gaussiano compuesto por gaussianos de la misma varianza pero con diferentes medios.

— TheGrapeBeyond

exactamente. Las medias están espaciadas exactamente por N, la longitud de la DFT.

— Andreas H.

Ah, fascinante. Una última cosa, este es un vector de longitud infinita, lo que significa que la matriz DFT también tiene una longitud infinita, ¿no?

— TheGrapeBeyond