Eigenmodes laplacianos en una región semicircular con método de diferencia finita

8

El cálculo de los modos propios de una membrana semicircular se reduce al siguiente problema de valores propios

\nabla^{2} u = k^{2} u,

$\nabla^2u=k^2u\;,$

donde la región de interés es un semicírculo definido por y . $r\in[0,1]$ $\varphi\in[0,\pi]$

Es apropiado trabajar en coordenadas cilíndricas, donde el laplaciano se escribe como

\nabla^{2} u = \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial φ^{2}} .

$\nabla^2u=\frac{\partial^2u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\varphi^2}.$

Las condiciones de contorno fijan el valor de en el límite del semicírculo, donde . $u$ $u=0$

Primero, hacemos una discretización de con , donde $u$ $u_{ij}=u(r_i,\varphi_j)$ y $r_i=(i+\frac{1}{2})h_r$ y,. Esta es unamallacentrada. $\varphi_j=(j+\frac{1}{2})h_\varphi$ $i,j=0\dots N-1$ $h_r=1/N$ $h_r=\pi/N$

Luego usamos una aproximación de diferencia finita para el laplaciano y obtenemos

\begin{array}{rcl} \nabla^{2} u & \approx & \frac{u_{i + 1, j} - 2 u_{i, j} + u_{i - 1, j}}{h_{r}^{2}} + \frac{1}{i h_{r}} \frac{u_{i + 1, j} - u_{i - 1, j}}{2 h_{r}} + \\ + \frac{1}{(i h_{r})^{2}} \frac{u_{i, j + 1} - 2 u_{i, j} + u_{i, j - 1}}{h_{φ}^{2}} \\ = & k^{2} u_{i j} \end{array}

$\begin{eqnarray} \nabla^2u&\approx& \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h_r^2}+\frac{1}{ih_r}\frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}}{2h_r}+ \\ &&+\frac{1}{(ih_r)^2}\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{h_{\varphi}^2}\\ &=&k^2u_{ij} \end{eqnarray}$

o

\begin{array}{rcl} u_{i + 1, j} (1 + \frac{1}{2 i}) + u_{i - 1, j} (1 - \frac{1}{2 i}) \\ + \frac{1}{i^{2} h_{φ}^{2}} (u_{i, j + 1} + u_{i, j - 1}) + u_{i, j} (- 2 - \frac{2}{i^{2} h_{φ}^{2}} - k^{2} h_{r}^{2}) = 0 . \end{array}

$\begin{eqnarray} &&u_{i+1,j}\left(1+\frac{1}{2i}\right)+u_{i-1,j}\left(1-\frac{1}{2i}\right)\\ &&+\frac{1}{i^2h_{\varphi}^2}\left(u_{i,j+1}+u_{i,j-1}\right)+u_{i,j}\left(-2-\frac{2}{i^2h_{\varphi}^2}-k^2h_r^2\right)=0\;. \end{eqnarray}$

Debido a que nuestra malla está centrada, tenemos que hacer el siguiente reemplazo en la ecuación anterior: . Este reemplazo también nos ayuda a deshacernos de la singularidad de coordenadas para. $i\to i+\frac{1}{2}$ $i=0$

Las condiciones de contorno en y puede ser todo manejado con el mismo truco , donde se parte en el límite $\varphi=0,\pi$ $r=0,1$

u_{i, j - 1} = - u_{i, j}

$u_{i,j-1}=-u_{i,j}$

u_{i, j + 1} = - u_{i, j}

$u_{i,j+1}=-u_{i,j}$

u_{i - 1, j} = - u_{i, j}

$u_{i-1,j}=-u_{i,j}$

u_{i + 1, j} = - u_{i, j} .

$u_{i+1,j}=-u_{i,j}.$

$u_{ij}$ $\vec v$ $\rm A$

A \vec{v} = k^{2} h_{r}^{2} \vec{v} .

${\rm A}{\vec v}=k^2h_r^2{\vec v}\;.$

La matriz es una matriz real asimétrica y los valores propios y los vectores propios se pueden obtener con una rutina dgeevde LAPACK.

Las soluciones analíticas pueden obtenerse fácilmente mediante el método de separación de variables.

u (r, φ) = R (r) Φ (φ) .

$u(r,\varphi)=R(r)\Phi(\varphi)\;.$

Son

u (r, φ)_{n m} = \sin (n φ) J_{n} (\frac{ξ_{n}^{(m)}}{R} r),

$u(r,\varphi)_{nm}=\sin(n\varphi)J_n\left(\frac{\xi_n^{(m)}}{R}r\right)\;,$

J_{n}

$J_n$

n

$n$

ξ_{n}^{(m)}

$\xi_n^{(m)}$

m

$m$

J_{n}

$J_n$

ω_{n m} = \sqrt{- k^{2}} = \frac{ξ_{n}^{(m)}}{R} .

$\begin{equation} \omega_{nm}=\sqrt{-k^2}=\frac{\xi_n^{(m)}}{R}\;. \end{equation}$

$r=0$

Aquí está la gráfica de la solución analítica para la primera función propia:

Solución analítica para la primera función propia.

La siguiente gráfica muestra la comparación de resultados numéricos para tres discretizaciones diferentes, en la medida en que mis recursos computacionales me permiten ir.

Comparación de soluciones numéricas a diferentes discretizaciones $ N $.

$N^2$ $L^2(\vec{u}-\vec{u}_{analytical})/N^2$ $0.5$ $N$

Error absoluto normalizado en función del número de puntos de la cuadrícula $ N ^ 2

pde finite-difference eigensystem

— liberias
fuente

A

$A$

h_{r}, h_{φ} \to 0

$h_{r}, h_{\varphi} \rightarrow 0$

A

$A$

N = 60

$N=60$

r = 0

$r=0$

r = 0

$r=0$

u (r = 0, φ) = 0

$u(r=0,\varphi)=0$

1

N

$N$

N

$N$

N

$N$

@David ¿Es esta simple prueba de convergencia lo que querías decir? ¿Es esta convergencia (lineal) lo suficientemente rápida? Después de todo, usamos aproximaciones de segundo orden para la primera derivada.

— liberias

2

En aras de tener al menos alguna respuesta, parece que el análisis que tiene arriba es correcto. Las condiciones de contorno de primer orden afectan la precisión de una discretización de segundo orden (si recuerdo el libro de LeVeque sobre aproximaciones de diferencias finitas correctamente; DavidKetcheson puede ayudarme con eso), por lo que las soluciones del problema discreto parecen converger a La solución del problema analítico al ritmo apropiado.

— Geoff Oxberry
fuente

Gilbert Strang también menciona en sus conferencias que las condiciones límite de primer orden se propagan por toda la solución. En realidad, me pregunto si este tipo de comportamiento cerca del origen es típico de las coordenadas cilíndricas y posiblemente se origina en la singularidad de las coordenadas.

— Liberias

1

Después de pasar por alto la mayor parte del análisis y mirar las bellas imágenes, cuentan una historia convincente: la solución analítica no tiene ninguna circularidad, pero su solución numérica sí; La región central es curva.

Entonces me enfocaría directamente en su esquema de diferencias finitas. Todavía no puedo ver lo que está mal, pero quizás parte de la dependencia angular de las coordenadas no se haya solucionado por completo.

Dudo que sea la condición límite; ambas soluciones parecen tener cero en todos los límites. Sin embargo, podría ser la naturaleza de la condición, ya que es una condición derivada más que de valor.

— Phil H
fuente

-3

No entiendo las condiciones de contorno.

¿Por qué el menos?
$r=0$ $r=1$ $\varphi=0$ $\varphi=\pi$

¿Podría dar más detalles, por favor?

— Giuseppe
fuente

u (x)

$u(x)$

u_{1}

$u_1$

x = - a

$x=-a$

- u_{1}

$-u_1$

x = a

$x=a$

x = 0

$x=0$

0

$0$

r

$r$

φ

$\varphi$

φ = 0, π

$\varphi=0,\pi$

r = 0, 1

$r=0,1$