Mecánica sólida con diferencias finitas: ¿Cómo manejar los "nodos de esquina"?

Tengo una pregunta sobre la codificación de las condiciones de contorno para la mecánica de sólidos (elasticidad lineal). En el caso especial, tengo que usar diferencias finitas (3D). Soy muy nuevo en este tema, por lo que quizás algunas de las siguientes preguntas pueden ser muy básicas.

Para conducir a mi problema específico, en primer lugar quiero mostrar lo que ya implementé (para mantenerlo claro, solo usaré 2D).

1.) Tengo la siguiente discretización de $div(\sigma) = 0$ , que muestra el primer componente de la divergencia $\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0$:

Utilizo una cuadrícula no escalonada, por lo que Ux y Uy se definen en el mismo lugar.

2.) El siguiente paso fue tratar los límites, donde uso "nodos fantasmas". De acuerdo con $\sigma \bullet n = t^*$ , donde $t^*$ es la tensión en el límite.

$(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*$$\sigma_{xx}^*$

$\mu\frac{\partial U_x}{\partial y} + \mu \frac{\partial U_y}{\partial x} = \sigma_{xy}^*$$\sigma_{xy}^*$

3.) Creo que hasta ahora todos mis pasos parecen ser lógicos, si no, corrígeme . Pero ahora también están los "nodos de esquina", donde no tengo idea de cómo manejarlos.

$div(\sigma) = 0$

Entonces mi pregunta es ¿cuál es la forma correcta de manejar estos "nodos de esquina"? Estoy feliz por cada idea.

He tenido problemas similares con las condiciones de los límites de las esquinas, especialmente al resolver problemas de placas estructurales con una presión transversal uniformemente aplicada. En particular, si uno está tratando de obtener las cargas de corte en los bordes (incluidas las esquinas). Las cargas de corte son una función de ∂ ^ 3 w / ∂ ^ 2 x∂y. El uso de un esquema de diferencia central hace que uno necesite el nodo "fantasma" que es diagonal al nodo de la esquina para determinar esta derivada. No creo que el promedio basado en nodos adyacentes sea apropiado. Lo que hice fue usar el momento de torsión Mxy que calculé en el nodo de la esquina y lo equiparé a la "molécula" de diferencia finita para el momento de torsión en función de los desplazamientos. Como ya conocía los desplazamientos de todos los demás nodos adyacentes (en función de las condiciones de contorno a lo largo de los bordes de la placa), era un asunto simple de resolver para este nodo de esquina "complicado". Espero que esto ayude.

Quizás esté intentando resolver un sistema de ecuaciones que no tiene una solución única. Imagine que tiene un grupo de nodos conectados por resortes, flotando en el espacio, y desea encontrar la posición de equilibrio de cada nodo. Si el sistema no está anclado a algo fijo (o no se aplica fuerza), hay muchas soluciones posibles. Cualquier solución siempre se puede traducir o rotar y sigue siendo una solución. ¿Has intentado arreglar los desplazamientos en un nodo de esquina para eliminar la traslación y arreglar un desplazamiento en otra esquina para eliminar rotaciones?

Una vez probé este enfoque de arreglar algunos nodos y ajustar las fuerzas normales en otros, pero parecía concentrar grandes cantidades de fuerza en los nodos límite individuales, lo que resultó en inestabilidad. Lo que terminó funcionando fue no intentar anclar solo algunos nodos, sino anclar todos los nodos en relación con una deformación homogénea. Esencialmente, se cuela todo el sistema de manera homogénea, pero luego se incluye el componente homogéneo en la definición local de tensión en cada nodo, por lo que no aporta ninguna energía elástica adicional. Puede leer más al respecto en este documento y las referencias citadas: http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn204177u .

Este problema de inestabilidad es probablemente una buena razón para elegir elementos finitos para problemas mecánicos cuando sea posible.