Encontrar el punto fijo de un operador

¿Qué métodos numéricos están disponibles para encontrar el punto fijo de un operador que actúa sobre las funciones ? Estoy buscando la función para la cual .f : [ a , b ] → [ a , b ] f A f = $A$$f : [a,b] \rightarrow [a,b]$$f$$Af = f$

Detalles esenciales:

Mi función es en realidad una función de densidad de probabilidad de una distribución en el círculo (es decir, en el periódico interno ). Esto también significa que para cualquier , lo que facilita el problema. Digamos que tenemos esta función muestreada con cierta densidad y podemos calcular el operador numéricamente. La distribución no es necesariamente continua, es decir, podría verse así:[ 0 , 2 π ) 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 x ∈ [ 0 , 2 π ) $f$$[0,2\pi)$$0 \le f(x) \le 1$$x \in [0,2\pi)$$A$

Estoy buscando métodos y sugerencias sobre cómo hacer esto. Voy a tratar de implementar esto en Mathematica primero.

Todos los detalles desordenados de mi problema práctico:

Así es como realmente calculo el operador : $A$

1. Tomo la distribución que tengo como una gran cantidad de muestras extraídas de ella
2. Calculo el PDF y lo combino con un núcleo "cuadrado" ("cuadrado" significa que es similar a la figura anterior). Esto me da una función bastante suave.
3. Umbralizo la función para obtener otra función de valor binario .$g:[a,b] \rightarrow {0,1}$
4. A partir de esta función de valor binario, vuelvo a calcular una gran cantidad de muestras extraídas de la distribución

Mencioné esto porque significa que en lugar de trabajar con PFD, también podríamos trabajar con la función suave (después de la convolución) o la función de valor binario. En realidad estaba trabajando con la función de valor binario en la práctica.

Sé que los puntos fijos de funciones reales simples (no operadores) pueden "atraer" o "rechazar", es decir, cuando se aplica la función repetidamente a un número, converge a un punto fijo o es rechazado por él. No sé de qué tipo es el punto fijo de mi operador.

Sé que mi operador siempre tiene la distribución uniforme como un punto fijo, pero a veces (dependiendo de mis parámetros) puede tener otra. Es este otro el que necesito encontrar.

Intenté aplicar el operador repetidamente para ver qué sucede y, a veces, converge al punto fijo que quiero. Pero incluso si no converge, puede existir un punto fijo (o solo puede converger a ese punto fijo si uso una condición inicial diferente). Entonces necesito un método más robusto.

Detalles aún más desordenados:

En realidad, mis distribuciones no están en , sino en un intervalo periódico . El punto fijo existirá solo para un cierto valor de . Cuando aplico el operador repetidamente, y está un poco alejado del valor correcto, la distribución parece "rotar" en el intervalo periódico. Al medir la cantidad de rotación, puedo corregir el valor de .[ 0 , a ) a a $[0,2\pi)$$[0,a)$$a$$a$$a$

¿Por qué mencioné este detalle complejo (aparentemente demasiado localizado), que no es esencial para la pregunta? Porque cuando lea que la distribución está en un intervalo periódico, notará que si una distribución es un punto fijo, cualquier rotación de esa distribución en el intervalo también será un punto fijo. Esto puede hacerle pensar si los errores numéricos en el cálculo de la aplicación del operador en el punto fijo harán que el punto fijo parezca "rotar" ligeramente. Puedo compensar esto, así que esto no es un problema.

Este es un ejemplo clásico de lo que se conoce como un problema inverso . Desea encontrar una función que reproduzca el comportamiento conocido, en lugar de preguntar qué comportamiento produce .$f$$f$

Un enfoque para hacer esto es utilizar un enfoque como el Monte Carlo inverso , desarrollado por Lyubartsev y Laaksonen. Lo que hicieron fue tratar de encontrar un potencial que reprodujera una función de distribución radial conocida . Lo que está buscando hacer es encontrar una función que reproduzca , por lo tanto, si bien la totalidad del enfoque puede no ser adecuada, deberá prestar especial atención al procedimiento de iteración que utilizan: es decir, cómo pasan de adivinar a adivinar .g ( r ) f A f = f u ( k ) ( r ) u ( k + 1 ) ( r $u(r)$$g(r)$$f$${\mathcal A}f = f$$u^{(k)}(r)$$u^{(k+1)}(r)$