¿Cuál es el propósito de usar la integración por partes para derivar una forma débil para la discretización de FEM?

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Cuando se pasa de la forma fuerte de una PDE a la forma FEM, parece que siempre se debe hacer esto al indicar primero la forma variacional. Para hacer esto, multiplique la forma fuerte por un elemento en algún espacio (Sobolev) e integre sobre su región. Esto lo puedo aceptar. Lo que no entiendo es por qué uno también tiene que usar la fórmula de Green (una o varias veces).

Principalmente he estado trabajando con la ecuación de Poisson, así que si tomamos eso (con condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas) como un ejemplo, es decir

\begin{aligned} - \nabla^{2} u & = f, u \in Ω \\ u & = 0, u \in \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align}$

entonces se afirma que la forma correcta de formar la forma variacional es

\begin{aligned} \int_{Ω} f v d \vec{x} & = - \int_{Ω} \nabla^{2} u v d \vec{x} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} - \int_{\partial Ω} \vec{n} \cdot \nabla u v d \vec{s} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align}$

Pero lo que me impide usar la expresión en la primera línea, ¿no es esa también una forma variacional que se puede usar para obtener una forma FEM? ¿No corresponde a las formas bilineales y lineales $b(u,v)=(\nabla^2 u, v)$ y $l(v)=(f, v)$ ? ¿El problema aquí es que si uso funciones de base lineal (funciones de forma) entonces tendré problemas porque mi matriz de rigidez será la matriz nula (no invertible)? Pero, ¿qué pasa si uso funciones de forma no lineal? ¿Todavía tengo que usar la fórmula de Green? Si no tengo que: ¿es aconsejable? Si no lo hago, ¿tengo una formulación variacional pero no débil?

Ahora, supongamos que tengo un PDE con derivadas de orden superior, ¿eso significa que hay muchas formas variacionales posibles, dependiendo de cómo use la fórmula de Green? ¿Y todos conducen a aproximaciones (diferentes) de FEM?

pde finite-element elliptic-pde

— cristiano
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Relacionado: scicomp.stackexchange.com/questions/667/…

— Paul

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Respuesta corta:

No, no tiene que hacer la integración para ciertos FEM. Pero en tu caso, tienes que hacer eso.

Respuesta larga:

Digamos es la solución de elementos finitos. Si elige el polinomio lineal por partes como su base, entonces tomar en él le dará una distribución de orden 1 (piense en tomar derivada en una función de paso Heaviside), y la integración de multiplicando por solo tiene sentido cuando lo toma como un par de dualidad en lugar de un producto interno . Tampoco obtendrá una matriz nula, el teorema de representación de Riesz dice que hay un elemento en $u_h$ $\Delta$ $-\Delta u_h\in H^{-1}$ $v$ $L^2$ $\varphi_{-\Delta u_h} \in H^1_0$ puede caracterizar el par dualidad por el producto interno en : La integración por partes elemento por elemento para arrojará una luz sobre este par de dualidad: para un elemento en esta triangulación $H^1$
$⟨ - Δ u_{h}, v ⟩_{H^{- 1}, H_{0}^{1}} = \underset{inner product in H^{1}}{\underset{⏟}{\int_{Ω} \nabla φ_{- Δ u_{h}} \cdot \nabla v}} .$ $\langle-\Delta u_h ,v \rangle_{H^{-1},H^1_0} = \underbrace{\int_{\Omega}\nabla \varphi_{-\Delta u_h} \cdot \nabla v}_{\text{inner product in }H^1}.$ $u_h$ $T$ este le dice que debe incluir entre elementos flujo salto en su representación par dualidad, cuenta la integración en el límite de cada elemento es también un par dualidad entre y . Incluso si usa una base cuadrática, que tiene un no desapareceen cada elemento, aún no puede escribir como un producto interno, debido a la presencia de este salto de flujo entre elementos. $\int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v = - \sum_{T} (\int_{T} Δ u_{h} v + \int_{\partial T} \frac{\partial u_{h}}{\partial n} v d S),$ $\int_{\Omega}\nabla u_h \cdot \nabla v = -\sum_{T}\left(\int_{T} \Delta u_h\,v + \int_{\partial T}\frac{\partial u_h}{\partial n}v\,dS\right),$ $-\Delta u_h$ $H^{1/2}$ $H^{-1/2}$ $\Delta$ $(\Delta u, v)$
$W^{k,p}$ $W^{k,p}$ $H^1$ $H^2$ $H^2$ $\Delta u_h$
Para ciertos FEM, no tiene que hacer la integración por partes. Por ejemplo, elemento finito de mínimo cuadrado. Escriba el pde de segundo orden como un sistema de primer orden: Entonces quieres minimizar el mínimo cuadrado funcional: con el mismo espíritu con Ritz-Galerkin funcional, la formulación de elementos finitos de minimización por encima de funcional en un el espacio de elementos finitos no requiere integración por partes.
${\begin{cases} σ = - \nabla u, \\ \nabla \cdot σ = f . \end{cases}$ $\begin{cases} \boldsymbol{\sigma} = -\nabla u, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f. \end{cases}$ $J (v) = ‖ σ + \nabla u ‖_{L^{2} Ω}^{2} + ‖ \nabla \cdot σ - f ‖_{L^{2} Ω}^{2},$ $\mathcal{J}(v) = \|\boldsymbol{\sigma} + \nabla u\|_{L^2{\Omega}}^2 + \|\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} - f\|_{L^2{\Omega}}^2,$

— Shuhao Cao
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Nada le impide hacerlo técnicamente, pero cuando se integra por partes, obtiene más flexibilidad con el espacio de la solución, ya que no necesitan tener regularidad (requerido para la formulación sin IBP). Los elementos lineales que sugiere generalmente han forzado la continuidad entre los elementos, por lo que no podrían estar en . Además, la formulación de IBP es simétrica, lo que también tiene algunas de sus ventajas. $H^2$ $H^2$

— Reid.Atcheson
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¿Está diciendo que las funciones de forma lineal dan una solución a la formulación de FEM que no está en porque diferenciar esta solución de FEM dos veces (débilmente) da una suma de distribuciones delta, que no está en ? ¿Significa eso que para pde: s de orden superior a 2 debo usar funciones de forma de orden superior a 1 (al menos si los espacios de prueba y prueba deberían ser los mismos?)?

H^{2}

$H^2$

L^{2}

$L^2$

— Christian

1

Lo que estás diciendo es esencialmente correcto. En cuanto a PDE de orden superior a segundo orden, no necesariamente tiene que usar espacios de mayor regularidad, ya que escribir la formulación mixta (ver la respuesta de Shuhao) puede ayudar. También podría usar otras técnicas como la penalización de salto para evitar esta dificultad. Sin embargo, para una respuesta FEM clásica, sí, necesitaría una mayor regularidad.

— Reid.Atcheson

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Permítanme enfatizar la importancia de la simetría. Si un operador diferencial es autoadjunto, espero terminar con una matriz simétrica. Sin integración por partes, este no será el caso.

— Stefano M

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Los beneficios computacionales fueron mi pensamiento principal al agregar eso, pero ¿existen también beneficios teóricos fuertes de la simetría (aparte de pruebas más fáciles de los hechos que probablemente aún se mantienen en el caso elíptico, incluso si la discretización no es simétrica)?

— Reid.Atcheson

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Excelentes respuestas ya en esta página, pero todavía hay un punto (pequeño) que falta.

El OP preguntó:

Ahora, supongamos que tengo un PDE con derivadas de orden superior, ¿eso significa que hay muchas formas variacionales posibles, dependiendo de cómo use la fórmula de Green? ¿Y todos conducen a aproximaciones (diferentes) de FEM?

La integración por partes (de la manera correcta ) es importante cuando tiene condiciones de límite de tipo Neumann. De hecho, es por el ibp que tiene en cuenta el Neumann bc en su formulación variacional. La forma de Neumann bc depende de cómo se integra por partes, cf. esta respuesta sobre integración por partes en elasticidad lineal. Por lo tanto, incluso para PDE elípticas de segundo orden, la integración por partes debe realizarse de una manera dada, para recuperar una formulación variacional válida para Neumann o condiciones de frontera mixtas. (Y esto, por supuesto, independientemente del hecho de que usted discretiza con FEM).

En física matemática, donde el Neumann bc tiene un significado bien definido (flujo de calor, estrés ...), la integración por partes es importante para mantener la interpretación correcta de los resultados. Incluso para condiciones de Dirichlet homogéneas y FEM esto es cierto, ya que si usamos un método multiplicador de Lagrange para imponer los bc, los multiplicadores se convierten en cantidades físicas, como flujos concentrados o fuerzas.

— Stefano M
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