Método de diferencia finita de Shortley-Weller

¿Me puede dar un enlace para una explicación buena y simple del esquema de diferencias finitas de Shortley-Weller? Traté de buscarlo en Google, pero todo lo que obtengo son publicaciones académicas (inaccesibles). También intenté leer el capítulo dedicado (4.8) en el libro de Wolfgang Hackbusch "Ecuaciones diferenciales elípticas", pero me resultó bastante difícil. Gracias

Para Christian Clason: gracias por su respuesta, pero hay algo que todavía no entiendo: ¿qué debo hacer para aplicar este método a límites arbitrarios, por ejemplo, un perfil asimétrico en un flujo?

finite-difference

— Miguel
fuente

He editado la respuesta para incluir los pasos básicos de la implementación real de este esquema; Si hay algo en particular con lo que tiene dificultades, no dude en comentar la respuesta.

— Christian Clason

Por cierto, parece que tienes dos cuentas separadas, lo que significa que no puedes editar tu publicación original o dejar comentarios. El personal de StackExchange puede fusionarlos por usted .

— Christian Clason

Por lo que puedo decir, este esquema solo consiste en reemplazar la plantilla de diferencia finita uniforme cerca del límite con una plantilla no uniforme (con al menos un punto desplazado para ubicarse en el límite). Básicamente, toma su dominio de forma arbitraria, lo coloca en un cuadro, discretiza el cuadro con una cuadrícula uniforme, tira todos los puntos de la cuadrícula que no tienen al menos un vecino dentro del dominio y desplaza los puntos de cuadrícula restantes fuera del dominio horizontal o verticalmente (el que sea más corto) para que se encuentren en el límite. (La implementación real es mucho más tediosa, por supuesto).

$x_1=x-h_1,x_2=x,x_3=x-h_2$

D_{h}^{2} u (x) \approx u (x - h_{1}) ℓ_{1}^{″} (x) + u (x) ℓ_{2}^{″} (x) + u (x + h_{2}) ℓ_{3}^{″} (x),

$D^2_h u(x) \approx u(x-h_1)\ell''_1(x) + u(x) \ell_2''(x) + u(x+h_2)\ell''_3(x),$

donde son los polinomios de Lagrange correspondientes a los nodos. Calcular los rendimientos derivados $\ell_j=\Pi_{i\neq j}(x-x_i)/(x_j-x_i)$

D_{h}^{2} u (x) = \frac{2}{h_{1} (h_{1} + h_{2})} u (x - h_{1}) - \frac{2}{h_{1} h_{2}} u (x) + \frac{2}{h_{2} (h_{1} + h_{2})} u (x + h_{2})

$D^2_h u(x) = \frac{2}{h_1(h_1+h_2)} u(x-h_1) - \frac{2}{h_1h_2} u(x) + \frac{2}{h_2(h_1+h_2)} u(x+h_2)$

según lo reclamado. (También puede usar la forma de Newton del polinomio de interpolación, que simplifica el cálculo de las derivadas, especialmente para órdenes superiores). Hacer lo mismo en y sumar las plantillas da la ecuación (4.8.7). $y$

Puede encontrar ejemplos más detallados en los métodos de diferencias finitas de Randy LeVeque para ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales (p. Ej., Página 9) , o en esta publicación de blog (que también contiene el código NumPy para calcular los coeficientes dados y arbitrarios ). Esto también se trata en detalle en Morton y Mayers, solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales , sección 3.4. $h_1$ $h_2$

La forma en que trata los nodos de límite depende de sus condiciones de límite. Para las condiciones de Dirichlet, proceda como lo haría para una malla uniforme. Para las condiciones de Neumann, utiliza el enfoque anterior (interpolación no uniforme, ahora simultáneamente en e , y diferenciación) para aproximar la derivada normal en el nodo límite para obtener una plantilla local; ver Morton y Mayers, página 75 y siguientes. $x$ $y$

— Christian Clason
fuente

Si reemplazamos con solo entonces . Pero se deriva utilizando diferencias finitas, es decir, series de Taylor. ¿Puede aclarar cómo la interpolación de Lagrange puede coincidir con la serie Taylor / diferencias finitas?

h_{1}, h_{2}

$h_1, h_2$

h

$h$

D_{h} = Δ_{h}

$D_h = \Delta_h$

Δ_{h}

$\Delta_h$

— secuencia

@secuencia, se pueden derivar aproximaciones de diferencias finitas como derivadas del polinomio de interpolación construido utilizando los nodos de la plantilla. Entonces, toma los puntos de la plantilla que desea usar, construye el polinomio de Lagrange y lo diferencia para derivar la fórmula para la aproximación de la derivada que desea.

— VorKir

@VorKir Sin embargo, es notable que estas aproximaciones coincidan con las aproximaciones de la serie Taylor.

— secuencia

@secuencia No realmente, ya que una aproximación de Taylor es una aproximación polinómica lineal (cuadrática, etc.) a una función en un punto, y también lo es el polinomio de interpolación. Según el teorema fundamental del álgebra, estos tienen que ser los mismos. (Si todavía es escéptico, recuerde que los puntos para la plantilla no se eligen al azar.)

— Christian Clason

@ChristianClason Gracias por aclarar. De hecho, no había prestado mucha atención al hecho de que ambas aproximaciones son polinomios, que deben ser únicos y, por lo tanto, a la aplicabilidad del teorema fundamental del álgebra.

— secuencia