La presión como multiplicador de Lagrange

En las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes,

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$ el término de presión a menudo se conoce como un multiplicador de Lagrange que impone la condición de incompresibilidad.

¿En qué sentido es esto cierto? ¿Existe una formulación de las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes como un problema de optimización sujeto a la restricción de incompresibilidad? Si es así, ¿hay un análogo numérico en el que las ecuaciones de flujo de fluido incompresible se resuelven dentro de un marco de optimización?

— Ben
fuente

- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

Esta equivalencia entre problemas no se explota en ningún esquema numérico (que yo sepa), pero es una herramienta importante en el análisis porque muestra que las ecuaciones de Stokes son esencialmente la ecuación de Poisson en un subespacio lineal. Lo mismo es cierto para las ecuaciones de Stokes dependientes del tiempo (que corresponde a la ecuación de calor en el subespacio) y se puede extender a las ecuaciones de Navier-Stokes.

— Wolfgang Bangerth
fuente

Gracias por una gran respuesta. ¿Sabes si esta formulación se puede extender al caso dependiente del tiempo?

— Ben

Sí, como digo, conduce a una ecuación de calor en el subespacio de funciones libres de divergencia.

— Wolfgang Bangerth

Lo siento, debería haber sido más claro. ¿Hay alguna manera de reestructurar las ecuaciones de Stokes (o Navier-Stokes) dependientes del tiempo como un problema de optimización, posiblemente de un funcional integrado en el tiempo?

— Ben

No como un problema de optimización: la solución de la ecuación del calor no minimiza nada (aunque es el punto estacionario de una función lagrangiana). Pero puede formular las ecuaciones de Stokes de la siguiente manera: Encuentre para que para todos sujeto a la restricción que . Tenga en cuenta que he elegido el espacio de prueba más pequeño que el espacio de prueba y, por lo tanto, el lado izquierdo y derecho de la ecuación variacional no será igual. La diferencia es la presión.

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

— Wolfgang Bangerth 01 de