Uso de iteración de punto fijo para desacoplar un sistema de pde

Supongamos que tengo un problema de valor límite:

\frac{d^{2} u}{d x^{2}} + \frac{d v}{d x} = f in Ω

$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega$

\frac{d u}{d x} + \frac{d^{2} v}{d x^{2}} = g in Ω

$\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega$

u = h in \partial Ω

$u=h \text{ in } \partial\Omega$

Mi objetivo es descomponer la solución de este problema acoplado en una secuencia de PDE no acoplados. Para desacoplar el sistema, estoy aplicando una iteración de punto fijo sobre una secuencia de aproximaciones modo que $(u^k,v^k)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f

$\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f$

\frac{d u^{k - 1}}{d x} + \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} = g

$\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g$

Teóricamente, esto me permitiría resolver ambas ecuaciones como PDE puramente elípticas. Sin embargo, nunca he visto iteraciones de punto fijo aplicadas a PDE de esta manera. He visto iteraciones de punto fijo aplicadas a las ecuaciones numéricamente discretizadas (método de diferencias finitas, método de elementos finitos, etc.), pero nunca a las ecuaciones continuas directamente.

¿Estoy violando algún principio matemático descarado al hacer esto? ¿Es esto matemáticamente válido? ¿Podría resolver el PDE acoplado como una secuencia de PDE no acoplados utilizando la iteración de punto fijo aplicada al problema de la variable CONTINUO, en lugar del problema de la variable DISCRETA?

En este punto, no estoy realmente preocupado sobre si es práctico usar este método, sino más bien si es teóricamente plausible. Cualquier comentario sería muy apreciado!

pde iterative-method

— Paul
fuente

En la literatura de PDE hiperbólica, los métodos de división fraccional de pasos y operadores hacen lo que usted describe anteriormente.

— Geoff Oxberry

(u^{k}, v^{k})

$(u^k, v^k)$

(u^{k}, p^{k})

$(u^k, p^k)$

@BillBarth: ¡Sí! Acabo de corregirlo.

— Paul

@ GeoffOxberry: Me parece que la división del operador es muy diferente en carácter.

— anónimo

@Paul: Puedo pensar en al menos otro problema en el que los "PDE acoplados" se resuelven a través de una iteración de punto fijo (y no solo formulados como problemas de punto fijo): descomposición del dominio, véase, por ejemplo, el método de Neumann-Dirichlet. (la diferencia aquí es que tiene dos PDE pero viven en dominios diferentes y el acoplamiento es solo a través de una interfaz).

— anónimo

$C^{\infty}(\Omega)\times C^{\infty}(\Omega)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} + \frac{d u^{k - 1}}{d x} = g

$\frac{\text{d}^2u^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} v^{k-1}}{\text{d} x} =f\\ \frac{\text{d}^2v^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} u^{k-1}}{\text{d} x} =g\\$ (más condiciones de contorno).

Está claro que si esta secuencia converge, será una solución de su conjunto original de PDE.

$x^k\to x^{k+1}$ $u^0$ $v^0$

‖ (\begin{matrix} u^{k} \\ v^{k} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k} \\ {\hat{v}}^{k} \end{matrix}) ‖ \leq q ‖ (\begin{matrix} u^{k - 1} \\ v^{k - 1} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k - 1} \\ {\hat{v}}^{k - 1} \end{matrix}) ‖

$\left\| \begin{pmatrix} u^k\\ v^k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^k\\ \hat{v}^k \end{pmatrix} \right\| \le q \left\| \begin{pmatrix} u^{k-1}\\ v^{k-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^{k-1}\\ \hat{v}^{k-1} \end{pmatrix} \right\|$

| q | < 1

$|q|<1$

(u^{k - 1}, v^{k - 1})

$(u^{k-1}, v^{k-1})$

({\hat{u}}^{k - 1}, {\hat{v}}^{k - 1})

$(\hat{u}^{k-1}, \hat{v}^{k-1})$

Esta lógica funciona tanto en el espacio continuo como en el discreto.

— Nico Schlömer
fuente

¿No debería ?

| q | < 1

$|q|<1$

— Paul