Desde una perspectiva numérica, quizás sea más fácil discutir las discretizaciones directamente.
Para la ecuación de Poisson con condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas, existe una solución única para cualquier lado derecho. Una vez discretizada, la ecuación se puede escribir en la forma , donde es la discretización estándar del operador laplaciano 3D con límite de Dirichlet es una discretización estándar de . Como es positivo definitivo, es invertible, y el sistema tendrá una solución única para cualquier , y por lo tanto, cualquier .A b f A b fA x = bUNAsiFUNAsiF
Existen, por supuesto, los problemas habituales con el submuestreo; Si dos valores diferentes de dan lugar a la misma discretización debido al uso de una grilla gruesa o debido a discontinuidades en , puede haber cierta ambigüedad sobre qué sistema se está resolviendo realmente. Pero siempre que la discretización de se comporte bien, existirá una solución única y significativa.f fFFF
La situación es un poco más complicada en el caso de condiciones de límite periódicas porque la discretización estándar del operador laplaciano 3D con límite periódico es semidefinida positiva y tiene un núcleo unidimensional comprende soluciones de la forma con constante.x ≡ C CKx ≡ CC
Debido a que todavía es simétrica en el caso periódico, tenemos que , por lo que no tendrá una solución a menos que , donde es el vector que consiste en todos los 1s. Esto proporciona la condición de consistencia para el lado derecho en forma discreta.Rango A = K ⊥ A x = b 1 ⋅ b = 0 1UNARangoA = K⊥A x = b1 ⋅b=01
Tenga en cuenta que, analíticamente, hay una forma algo más simple de verlo. Recuerde que, para , donde es nuestro dominio, tenemos
Si estipulamos una condición de límite periódica en , entonces el término de límite en el lado derecho desaparece, y nos queda con
Entonces, si satisface , se deduce inmediatamente que debemos tener
Este es el análogo analítico deΩ ∫ Ω Δ ϕϕ ∈ C2( Ω )Ωϕ ∫ Ω Δ ϕ
∫ΩΔ ϕrex = ∫∂Ω∂ϕ∂nortereS.
ϕϕ Δ ϕ = f ∫ Ω f∫ΩΔ ϕrex = 0.
ϕΔ ϕ = f1 ⋅ b = 0 f b∫ΩFrex = 0.
1 ⋅b=0, ya que ambos expresan el hecho de que el valor promedio de , y por lo tanto , sobre el dominio debe ser cero.
Fsi