¿Cómo resolver la ecuación rígida en este problema restringido de tres cuerpos numéricamente?

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Me he encontrado con una ecuación rígida para resolver el problema circular restringido de tres cuerpos. [Un objeto se mueve considerando el efecto de las fuerzas gravitacionales causadas por dos fuentes gravitacionales fijadas en un espacio 2D].

Las ecuaciones son estas:

$x''=-\frac{GM_1 (x-x_1)}{\sqrt{(x-x_1)^2+y^2}^3}--\frac{GM_2 (x-x_2)}{\sqrt{(x-x_2)^2+y^2}^3}$

$y''=-\frac{GM_1 y}{\sqrt{(x-x_1)^2+y^2}^3}--\frac{GM_2 y}{\sqrt{(x-x_2)^2+y^2}^3}$

Ni el Método Euler ni Runge Kutta funcionarán ya que la propiedad cerca de $(x_1, 0)$ o $(x_1, 0)$ no es buena. Los derivados cambian demasiado rápido. La simulación no se puede resolver correctamente. El objeto es demasiado fácil de alcanzar en la fuente gravitacional.

¿Cómo puedo arreglar esto?

¡Gracias!

ode simulation

— Fin_de_Siecle
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¿Qué quieres decir con "Ni el Método Euler ni Runge Kutta funcionarán"? ¿Son estas sus propias implementaciones de estos métodos? ¿Está utilizando un tamaño de paso de tiempo fijo? Creo que ambos métodos deberían funcionar bien incluso cerca de las singularidades si elige un tamaño de paso de tiempo adaptativo.

— Wolfgang Bangerth

¿Has probado un método implícito , como Backward Euler?

— Paul

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Los integradores convencionales no conservan la "forma" del espacio de fases, lo que lleva a una pérdida o ganancia de energía sistemática, por lo tanto, debe considerar integradores "simécticos". Para encuentros cercanos, debe considerar el método de Chambers (1999) Un integrador simpléctico híbrido que permite encuentros cercanos entre cuerpos masivos .

— Jed Brown
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Puede encontrar una introducción muy legible a los solucionadores modernos de EDO en el capítulo 7 del libro de Cleve Moler, Numerical Computing With MATLAB, disponible en línea aquí: http://www.mathworks.com/moler/odes.pdf Entre los temas que analiza están la estabilidad , cómo obtener una precisión prescrita con algoritmos de paso de tiempo variable y la aplicación al problema de dos cuerpos.

— Bill Greene
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