cuadrícula uniforme versus no uniforme

Probablemente sea una pregunta a nivel de estudiante, pero no puedo dejarla clara para mí. ¿Por qué es más preciso usar cuadrículas no uniformes en los métodos numéricos? Estoy pensando en el contexto de algún método de diferencia finita para el PDE de la forma . Y suponga que estoy interesado en una solución en el punto . Entonces, puedo ver que si aproximo la segunda derivada, por ejemplo, en una cuadrícula uniforme usando una aproximación de tres puntos, el error es de segundo orden O (h ^ 2) . Luego puedo construir una cuadrícula no uniforme a través de un mapeo y encontrar coeficientes para los tres puntos que se usan para aproximar la derivada. Puedo hacer las expansiones de Taylor y nuevamente obtener un límite para que la derivada sea un segundo orden O (h ^ 2) , dondex ∗ O ( h 2 ) O ( h 2 ) $u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$x^{\ast}$$O(h^2)$$O(h^2)$$h$ es la distancia en una cuadrícula uniforme de la que obtuve el mapeo a una cuadrícula no uniforme. Ambas estimaciones contienen derivados y no me queda claro por qué la solución sería más precisa en una cuadrícula no uniforme, ya que depende de la magnitud de las derivadas correspondientes en las estimaciones de error.

La justificación de las mallas no uniformes es la siguiente (todas las ecuaciones entendidas como cualitativas, es decir, en general verdaderas pero sin la pretensión de ser demostrable en todas las circunstancias y para todas las ecuaciones o todas las posibles discretizaciones):

Al resolver una ecuación con, por ejemplo, elementos finitos lineales, normalmente tiene una estimación de error del tipo o, de forma equivalente pero en una forma más adecuada para lo siguiente: \ | u-u_h \ | _ {L ^ 2 (\ Omega )} ^ 2 \ le C h _ {\ text {max}} ^ 4 \ | \ nabla ^ 2 u \ | _ {L ^ 2 (\ Omega)} ^ 2. Sin embargo, esto es una sobreestimación. De hecho, en muchos casos se puede mostrar que el error es en realidad de la forma \ | u-u_h \ | _ {L ^ 2 (\ Omega)} ^ 2 \ le C \ sum_ {K \ in {\ mathbb T} } h_K ^ 4 \ | \ nabla ^ 2 u \ | _ {L ^ 2 (K)} ^ 2. Aquí, K son las células de la triangulación \ mathbb T . Esto muestra que para que el error sea pequeño, en realidad no es necesario reducir el máximo‖ u - u h ‖ 2 L 2 ( Ω ) ≤ C h 4 max ‖ ∇ 2 u ‖ 2 L 2 ( Ω ) . ‖ U - u

$$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$$ $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$$ K $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$$ $K$$\mathbb T$tamaño de malla $h_\text{max}$ . Por el contrario, la estrategia más eficiente será equilibrar las contribuciones de error a nivel de $h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$ - en otras palabras, debe elegir $$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$$ En otras palabras, el tamaño de malla local $h_K$ debe ser pequeño donde la solución es rugosa (tiene grandes derivados) y grande donde la solución es suave, y la fórmula anterior proporciona una medida cuantitativa para esta relación.

Demuéstralo con este ejemplo. ¿Cuál es el error máximo al interpolar sqrt (x) en el intervalo [0,1] con interpolación lineal por partes en una malla uniforme?

¿Cuál es el error máximo cuando se interpola en una malla en la que el i de n puntos viene dado por (i / n) ^ s, y s es un parámetro de calificación de malla cuidadosamente elegido?

La razón típica por la cual un no uniforme puede conducir a una mayor precisión es que el PDE a resolver no tiene la forma , sino la forma . Si su cuadrícula no uniforme le permite representar la real con mayor precisión, obtendrá una solución más precisa. Debido a que normalmente está determinada por las propiedades del material, es probable que sea constante dentro de cada material, por lo que normalmente tiene una función constante por partes y realmente debería alinear la cuadrícula en consecuencia.$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$$D(x)$$D(x)$

Una razón diferente podría ser que tiene más variación en ciertas regiones que en otras. Uno puede intentar compensar esto un poco con una cuadrícula no uniforme adaptativamente refinada. (Sin embargo, en mi opinión, existen otras técnicas que pueden manejar esta situación incluso mejor que una cuadrícula no uniforme).$u(x,0)$

Kamil, la resolución de ecuaciones diferenciales es global, la interpolación es local. En la interpolación polinómica por partes, la precisión lejos de la singularidad no se verá afectada por la singularidad. Desafortunadamente, esto no es del todo cierto para resolver una ecuación elíptica, como un problema de valor límite de dos puntos. La singularidad contaminará la aproximación globalmente.

Aquí hay algo para probar. Resuelva D (sqrt (x) Du) en [0,1] con Dirichlet homogéneo bcs D es el operador de diferenciación. Use elementos finitos o diferencias finitas en una malla uniforme de n puntos. Compare con una malla en la que el punto i-ésimo es (1 / n) ^ 1.5. Tenga en cuenta que el peor error para la malla uniforme está lejos de la singularidad, y mucho más grande que para la malla graduada.