¿Cuándo deben usarse métodos implícitos en la integración de PDE hiperbólicas?

Los métodos numéricos para resolver PDEs (u ODE) se dividen en dos grandes categorías: métodos explícitos e implícitos. Los métodos implícitos permiten pasos de tiempo estables más grandes pero requieren más trabajo por paso. Para las PDE hiperbólicas, la sabiduría común es que los métodos implícitos generalmente no dan resultado porque el uso de pasos de tiempo mayores que los permitidos por la condición de CFL conduce a resultados muy inexactos. Sin embargo, los métodos implícitos se utilizan en algunos casos. Para una aplicación dada, ¿cómo debería uno elegir si usar un método explícito o implícito?

La pregunta central es qué procesos físicos (ondas o términos fuente) tienen escalas de tiempo que le interesa resolver y cuáles preferiría pasar. Si no está interesado en la escala de tiempo más rápida del sistema, las ecuaciones se denominan "rígidas". Las leyes de conservación hiperbólica generalmente se escriben como sistemas de primer orden

$$u_t + \nabla\cdot F(u) = G(u,\nabla u,...)$$

dónde $u$ contiene variables conservadas, $F$ es el flujo, y $G$se llama el "término fuente". Tenga en cuenta que con esta terminología, el flujo$F$ no contiene derivados, por lo tanto, los términos difusivos y dispersivos deben ir en $G$. Es bastante común usar la integración implícita o semi-implícita cuando los términos fuente son rígidos, como ocurre con muchos problemas de reacción química y cuando hay difusión o dispersión. La reacción química generalmente se puede resolver implícitamente localmente en cada elemento, ya que no está acoplada a las células vecinas.

Para calcular las velocidades de onda, examinamos los valores propios del flujo jacobiano $A = [\partial F/\partial u]$. Si decidimos que la fase de ciertas ondas no es de interés físico, entonces podemos querer pasar por encima de ellas.

Por ejemplo, si está simulando la evolución a largo plazo de un océano, es posible que no le interesen las ondas de gravedad en la superficie (por ejemplo, tsunamis). Desafortunadamente, cambiar la velocidad de la onda (ya sea desacelerándola para usar métodos explícitos o acelerándola a un modelo de "tapa rígida" que puede usar una proyección) cambia la física al cambiar la forma en que se propagan los vórtices. Los vórtices en el océano son un efecto donde la onda de gravedad está casi equilibrada con la convección, pero no del todo.

Otro ejemplo es Euler compresible, por ejemplo, flujo de aire a través de un centro de datos. La velocidad de la onda acústica es mucho más rápida que la convección y solo esta última es importante para la transferencia de calor. Si no está interesado en la acústica, puede utilizar un método implícito.

La eficiencia relativa de un método implícito depende del costo para resolver los sistemas algebraicos en cada paso / etapa en comparación con el tamaño del paso que se puede usar con métodos explícitos. Resolver estos sistemas algebraicos de manera eficiente es un tema activo de investigación. (Haga otra pregunta y la responderé y haré referencia desde aquí).

También es posible que desee utilizar métodos implícitos si:

• sus ecuaciones tienen estados estables significativos que desea explorar directamente, quizás para caracterizar la estabilidad
• está resolviendo problemas de asimilación inversa / de datos que implican un largo historial
• desea sortear las barreras de orden para usar métodos de integración de tiempo de orden muy alto con ciertas propiedades de estabilidad
• está utilizando métodos adaptativos espacio-temporales
• está utilizando una discretización espacial que ya requiere resolver un sistema algebraico (por ejemplo, métodos de elementos finitos continuos con matriz de masa consistente)