¿Deberíamos esperar siempre que las gráficas de error de FEM sean líneas rectas?

Las estimaciones de error en FEM son generalmente de la forma

| | u^{h} - u | | \leq C h .

$||u^h-u||\leq Ch.$

Tomando logaritmo en ambos lados, obtenemos

\log | | u^{h} - u | | \leq \log C + \log h .

$\log ||u^h-u||\leq \log C + \log h.$

Esta estimación implica que el error se encuentra debajo de la línea recta dada por $\log y=\log C + \log h$ en la escala log-log. Esta estimación no dice que la gráfica de error con respecto a $h$ deba ser una línea recta, solo que debe estar debajo de una línea recta.

Entonces, ¿por qué la mayoría de los gráficos de error que se publican en revistas muestran una línea recta muy aguda para el error? Le agradecería una idea de esta pregunta, ya que soy un novato en informática científica.

En particular, algunos cálculos que realicé en FEniCS mostraron gráficos de error que no son líneas rectas, sin embargo, el gráfico se encuentra debajo de una línea recta. ¿Un solucionador lineal particular afecta tal comportamiento? Estoy usando solucionador lineal de paperas.

Editar: en la imagen a continuación, los resultados teóricos muestran que el error (trazado en el eje y) debería decaer como $1/R$ donde $R$ se representa en el eje x. La segunda figura está en la escala log-log.

finite-element convergence

— Tanuj Dipshikha
fuente

Si implementa un método que converge con el orden polinomial N en el tamaño de malla (y lo implementa correctamente), eso es lo que debe esperar.

— Paul

A juzgar por las tramas, no parece que esté refinando la malla, sino que está creando una nueva con un tamaño diferente cada vez, ¿es correcto?

— nicoguaro

@nicoguaro Sí, esto es cierto. Estoy creando una nueva malla cada vez.

— Tanuj Dipshikha

¿Has intentado refinar la malla en su lugar, dividiendo por 4 cada elemento cada vez, suponiendo que es un problema 2D?

— nicoguaro

10^{- 3}

$10^{-3}$

\sqrt{a (v, v)}

$\sqrt{ a(v,v) }$

h

$h$

Si bien no puedo comentar su caso particular, ya que no proporcionó suficientes detalles, puedo brindarle orientación sobre el tema, ya que he pasado varios años de mi vida tratando de hacer que estos gráficos de convergencia se vean lo mejor posible. Solo he trabajado con problemas elípticos y de punto de silla de montar y la guía probablemente no se aplica a los problemas parabólicos e hiperbólicos en absoluto.

Una cosa ya debería estar clara en los comentarios: no hay ninguna razón para que los gráficos siempre se vean como líneas rectas si tiene un límite superior para el error.

Otra cosa a tener en cuenta es que tales estimaciones de error generalmente se satisfacen con algún conjunto genérico de problemas en los que los datos de límite y carga se especifican como un elemento de un espacio Sobolev. Por lo tanto, en realidad hay muchos problemas con diferentes cargas, condiciones de contorno, etc. que satisfacen la misma estimación, generalmente con una constante diferente. Cuando se resuelven numéricamente en una secuencia de mallas, solo algunos de los problemas permanecen lo suficientemente cerca del límite asintótico, según lo definido por la estimación, para que los gráficos se vean lineales .

$h$ $h \rightarrow 0$

Hacer que el rango preasintótico sea lo más pequeño posible artificialmente y encontrar problemas que se mantengan principalmente cerca del límite asintótico es más un arte que una ciencia. Aquí hay algunos consejos:

$\sin(x)$ $h << \pi$
Asegúrate de que no haya más singularidades que las que te interese estudiar.
$L^2$
Asegúrese de que la secuencia de mallas esté anidada. Esto a menudo mejorará la monotonicidad del gráfico: la siguiente malla siempre debe ser mejor que la anterior.
Asegúrese de utilizar una regla de integración lo suficientemente alta al evaluar el error. He cometido este error más de una vez y me llevó un tiempo darme cuenta de dónde estaba el problema.
No use puntos de integración que residan en límites de elementos si tiene datos discontinuos sobre el límite del elemento. También cometí este error una vez y me llevó un tiempo depurarlo.

En general, creo que las estimaciones de error son más útiles cuando se verifica que el código de elementos finitos recientemente implementado funciona correctamente y no es tan útil para problemas aplicados donde los datos y las condiciones de contorno no son necesariamente lo suficientemente agradables para obtener gráficos de convergencia lineal.

Si proporciona más detalles sobre el problema en cuestión, creo que podría proporcionar consejos más específicos. Sin embargo, creo que estos consejos lo ayudarán a comenzar a encontrar el problema.

— knl
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