Buenos ejemplos de "dos es fácil, tres es difícil" en ciencias computacionales

Recientemente me encontré con una formulación del meta-fenómeno : " dos es fácil, tres es difícil " (redactado de esta manera por Federico Poloni), que se puede describir de la siguiente manera:

Cuando se formula un cierto problema para dos entidades, es relativamente fácil de resolver; sin embargo, un algoritmo para una formulación de tres entidades aumenta enormemente la dificultad, posiblemente incluso haciendo que la solución no sea factible o no alcanzable.

_{(Agradezco sugerencias para hacer que la redacción sea más bella, concisa y precisa).}

¿Qué buenos ejemplos en diversas áreas de las ciencias de la computación (comenzando con álgebra lineal pura y terminando con una física computacional a término) conoce?

Un ejemplo que aparece en muchas áreas de la física, y en particular la mecánica clásica y la física cuántica, es el problema de los dos cuerpos. El problema de dos cuerpos aquí significa la tarea de calcular la dinámica de dos partículas que interactúan y que, por ejemplo, interactúan por fuerzas gravitacionales o de Coulomb. La solución a este problema a menudo se puede encontrar en forma cerrada mediante una transformación variable en coordenadas de centro de masa y relativas.

Sin embargo, tan pronto como considere tres partículas, en general no existen soluciones de forma cerrada .

Un ejemplo famoso es el problema de satisfacción booleana (SAT). 2-SAT no es complicado de resolver en tiempo polinómico, pero 3-SAT es NP-completo.

En una y dos dimensiones, todos los caminos conducen a Roma, pero no en tres dimensiones.

Específicamente, dado un paseo aleatorio (igualmente probable que se mueva en cualquier dirección) en los enteros en una o dos dimensiones, entonces, sin importar el punto de partida, con probabilidad uno (también conocido como casi seguro), el paseo aleatorio eventualmente llegará a un lugar específico designado punto ("Roma").

Sin embargo, para tres o más dimensiones, la probabilidad de llegar a "Roma" es menor que uno; con la probabilidad de disminuir a medida que aumenta el número de dimensiones.

Entonces, por ejemplo, si realiza una simulación estocástica (Monte Carlo) de una caminata aleatoria que comienza en "Roma", que se detendrá cuando regrese a Roma, entonces en una y dos dimensiones, puede estar seguro de que eventualmente regresará a Roma y detener la simulación, tan fácil. En tres dimensiones, es posible que nunca vuelvas tan fuerte.

https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk#Higher_dimensions

Para visualizar el caso bidimensional, uno puede imaginar a una persona caminando al azar por una ciudad. La ciudad es efectivamente infinita y está organizada en una cuadrícula cuadrada de aceras. En cada intersección, la persona elige aleatoriamente una de las cuatro rutas posibles (incluida la que originalmente viajó). Formalmente, esta es una caminata aleatoria en el conjunto de todos los puntos en el plano con coordenadas enteras.

¿Volverá alguna vez la persona al punto de partida original de la caminata? Este es el equivalente bidimensional del problema de paso a nivel discutido anteriormente. En 1921, George Pólya demostró que la persona seguramente haría una caminata aleatoria bidimensional, pero para 3 dimensiones o más, la probabilidad de regresar al origen disminuye a medida que aumenta el número de dimensiones. En 3 dimensiones, la probabilidad disminuye a aproximadamente el 34%

Ver http://mathworld.wolfram.com/PolyasRandomWalkConstants.html para valores numéricos.

Aquí hay uno cercano a los corazones de los contribuyentes en SciComp.SE:

El problema de existencia y suavidad de Navier – Stokes

La versión tridimensional es, por supuesto, un famoso problema abierto y el tema de un premio Clay Millenium de un millón de dólares. Pero la versión bidimensional ya se resolvió hace mucho tiempo, con una respuesta afirmativa. ¡Terry Tao señala que la solución se remonta esencialmente a la tesis de Leray en 1933!

¿Por qué el problema tridimensional es mucho más difícil de resolver? La respuesta estándar, ondulada a mano, es que la turbulencia se vuelve significativamente más inestable en tres dimensiones que en dos. Para obtener una respuesta matemáticamente más rigurosa, consulte la declaración oficial del problema de Charles Fefferman en el Clay Institute o la agradable exposición de Terry Tao sobre las posibles estrategias de prueba .

En la teoría de la elección social, diseñar un esquema de elección con dos candidatos es fácil (reglas mayoritarias), pero diseñar un esquema de elección con tres o más candidatos necesariamente implica hacer compensaciones entre varias condiciones que suenan razonables. ( Teorema de imposibilidad de Arrow ).

Diagonalización simultánea de dos matrices $A_1$ y $A_2$ :

Sin embargo, cuando se requiere la reducción simultánea de tres matrices a una forma canónica (condición más débil en comparación con lo anterior):

Una aplicación práctica sería una solución para un problema de valor propio cuadrático:

Fuente: CF van Loan, "Conferencia 6: La descomposición generalizada de valores singulares de orden superior", CIME-EMS Summer School, Cetraro, Italia, junio de 2015.

Hay muchos ejemplos en computación cuántica, aunque he estado fuera de esto por un tiempo y no recuerdo muchos. Una de las principales es que el enredo bipartito (enredo entre dos sistemas) es relativamente fácil, mientras que el enredo entre tres o más sistemas es un desastre sin resolver con probablemente cien artículos escritos sobre el tema.

La raíz de esto es que los tensores de rango 2 (es decir, matrices) pueden analizarse mediante descomposición de valores singulares. No existe nada similar para los tensores de rango 3 o superior. De hecho, incluso algo tan simple como $\max\left(u_a v_b w_c T^{abc} / \left\lVert u \right\rVert \left\lVert v \right\rVert \left\lVert w \right\rVert \right)$ (con sub / superíndices que denotan la suma de Einstein), IIRC, no se cree que sea eficientemente solucionable .

Este artículo parece relevante, aunque no lo he leído: la mayoría de los problemas de tensor son NP-hard

La bisección angular con regla y brújula es simple, la trisección angular es en general imposible.

Inferencia de tipos para tipos de rango-n . La inferencia de tipo para el rango 2 no es especialmente difícil, pero la inferencia de tipo para el rango 3 o superior es indecidible.

Aquí hay uno de optimización: el algoritmo del Método de Multiplicación de Dirección Alternante (ADMM).

Dada una función objetiva no acoplada y convexa de dos variables (las variables mismas podrían ser vectores) y una restricción lineal que une las dos variables:

$L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda)$$x_1$$x_2, \lambda$$L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda)$$x_2$$x_1, \lambda$$\lambda$. Este ciclo continúa hasta que se alcanza un criterio de detención.

(Nota: algunos investigadores como Eckstein descartan la vista de división de Gauss-Siedel a favor de los operadores proximales, por ejemplo, consulte http://rutcor.rutgers.edu/pub/rrr/reports2012/32_2012.pdf )

Para problemas convexos, se ha demostrado que este algoritmo converge para dos conjuntos de variables. Este no es el caso de tres variables. Por ejemplo, el problema de optimización

$f$$x_i$$\lambda$

https://web.stanford.edu/~yyye/ADMM-final.pdf

Doblar un trozo de papel por la mitad sin herramientas es fácil. Doblarlo en tercios es difícil.

Factorizar un polinomio con dos raíces es fácil. Factorizar un polinomio con tres raíces es significativamente más complicado.

$f(x,y) = 0$$f$

Esta diferencia tiene varias implicaciones:

• En el grado 2 hay algoritmos para encontrar todos los puntos racionales (soluciones en números racionales), en el grado 3 no se conoce dicho algoritmo.
• $\sqrt{f(x)}$$f$$f$
• El problema del logaritmo discreto es manejable en curvas de grado 2, por lo tanto, no es adecuado para aplicaciones criptográficas, mientras que la dureza asumida del mismo problema en las curvas elípticas está en la base de algunos de los criptosistemas de clave pública más populares.

La TREEfuncion.

Podemos calcular TREE(2) = 3, pero TREE(3)no es calculable en la vida del universo, solo sabemos que es finito.

En un espacio bidimensional, puede introducir una estructura compleja, que se puede utilizar para resolver con elegancia muchos problemas (por ejemplo , problemas de flujo potencial ), pero no existe un análogo en 3 dimensiones.

En la física cuántica de muchos cuerpos, estudiamos diferentes redes de n giros en el marco de diferentes modelos (por ejemplo, modelo de Heisenberg, modelo de Bose-Hubbard, modelo de Ising, ...). Por supuesto, tiene diferentes métodos numéricos para estudiarlos (DMRG, diagonalización exacta, redes neuronales, ...) y una de las razones por las que tratamos de desarrollar métodos diferentes es porque no puede resolver estos modelos cuando n es demasiado "alto" y, por supuesto, es peor si estudias en dimensiones superiores. Por ejemplo, para el modelo de Ising, la diagonalización exacta funciona bien en 1d para n no superior a 20. Entonces, para n superior, intente con otro método: DMRG. Pero estos últimos funcionan bien para n superior (como n = 70 pero no para n superior). Nuevamente, desea otro método para n superior: redes neuronales (es decir, inteligencia artificial). Y además con las redes neuronales, puede estudiar "más fácilmente" (es decir, con n relativamente más alto) estos modelos en dimensiones más altas (pero para la dimensión = 3 y n pequeña, por ejemplo, todavía se necesitan muchas horas (varios días) para obtener el estado fundamental o el observable que querías ...). Bref, cuando n se vuelve "demasiado alto" para sus métodos numéricos (pero también la capacidad de su computadora) necesita realizar nuevos métodos (y si puede, usar una supercomputadora) y es el mismo problema con la dimensión de su computadora sistema pero peor, por supuesto, ya que está atascado rápidamente (dimensión = 4 es difícil de obtener, excepto si espera mucho tiempo ...). todavía lleva muchas horas (varios días) obtener el estado fundamental o el observable que deseaba ...). Bref, cuando n se vuelve "demasiado alto" para sus métodos numéricos (pero también la capacidad de su computadora) necesita realizar nuevos métodos (y si puede, usar una supercomputadora) y es el mismo problema con la dimensión de su computadora sistema pero peor, por supuesto, ya que está atascado rápidamente (dimensión = 4 es difícil de obtener, excepto si espera mucho tiempo ...). todavía lleva muchas horas (varios días) obtener el estado fundamental o el observable que deseaba ...). Bref, cuando n se vuelve "demasiado alto" para sus métodos numéricos (pero también para la capacidad de su computadora) necesita realizar nuevos métodos (y si puede, usar una súper computadora) y es el mismo problema con la dimensión de su computadora sistema pero peor, por supuesto, ya que está atascado rápidamente (dimensión = 4 es difícil de obtener, excepto si espera mucho tiempo ...).
Por supuesto, aquí hay más información adicional a su pregunta porque en realidad, en la física cuántica de muchos cuerpos, n = 3 no es alto (pero si toma una red que es un hipercubo, no puede tomar n = 3 de curso (debido a las condiciones)).

Mundo real:

Automatización%: por ejemplo, es fácil automatizar algo en 30% o 50% u 80%, mientras que es difícil superar, por ejemplo, más del 95% e increíblemente difícil o incluso casi imposible alcanzar el 100%.