Algoritmos para el sistema lineal de EDO

Me pregunto: ¿cuál es el mejor algoritmo para resolver donde es una matriz real . A no es explícitamente dependiente del tiempo, generalmente escaso pero no necesariamente en bandas. Sus valores propios tienen partes reales no positivas. A también es diagonalizable, pero puede ser demasiado grande para que una diagonalización completa sea computacionalmente eficiente.

\frac{d u}{d t} = A u

$\begin{equation} \frac{du}{dt} = Au \end{equation}$

A

$A$

n \times n

$n\times n$

Existe la regla trapezoidal implícita que he tenido una buena experiencia.

(I - \frac{Δ t}{2} A) u_{n + 1} = (I + \frac{Δ t}{2} A) u_{n}

$\begin{equation} \left(I-\frac{\Delta t}{2} A\right) u_{n+1} = \left(I+\frac{\Delta t}{2} A\right) u_{n} \end{equation}$

¿Qué pasa con los métodos explícitos o aproximaciones de Pade? Además, ¿cómo cambia esto si se agrega un término forzado al RHS?

linear-algebra ode

— Gabriel Landi
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Realmente necesitamos más información sobre A. Dependiendo de la ubicación de los valores propios, la estabilidad podría ser un problema que afecta la elección entre métodos explícitos o implícitos. También importa el orden que desee y si A varía o no en el tiempo / con usted en cuanto a si necesita un solucionador rígido. Realmente no hay suficiente información para hacer una respuesta informada.

— Godric Seer

@GodricSeer Gracias Godric. He añadido algunas suposiciones acerca de .

A

$A$

— Gabriel Landi

@GabrielLandi Deberá agregar más información que esa para obtener una respuesta específica. ¿Qué tan grande es ? Es normal? ¿Los valores propios de reales, imaginarios o complejos? ¿Qué tan grandes son (mayor y menor magnitud)?

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— David Ketcheson

Como su matriz es independiente de el resultado es una matriz exponencial multiplicada por el vector inicial. La discusión estándar sobre el método relevante se puede encontrar en http://scholar.google.at buscando "Diecinueve formas dudosas". $u$

Para el algoritmo de escalado y cuadratura (el menos dudoso), consulte también http://blogs.mathworks.com/cleve/2012/07/23/a-balancing-act-for-the-matrix-exponential/

— Arnold Neumaier
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