Solución iterativa a una ecuación no lineal.

8

Me disculpo de antemano si esta pregunta es tonta. Necesito calcular la raíz de

u - f (u) = 0

$\begin{equation} u -f(u) =0 \end{equation}$

Donde es un vector real es una función con valor de vector real. Comencé con el método de Newton (que funcionó), pero luego me di cuenta de que un método mucho más simple sería una solución iterativa $u$ $f(u)$

u_{i + 1} = f (u_{i})

$\begin{equation} u_{i+1} = f(u_{i}) \end{equation}$

Esto es mucho más rápido y aparentemente tan preciso / estable como el método de Newton.

Ahora las preguntas:

¿Es este el enfoque correcto o debería usar un método diferente?
¿Hay algo que se pueda decir sobre su tasa de convergencia, estabilidad, acc, etc.?
¿Es globalmente convergente?

Gracias de antemano a todos por la atención.

iterative-method nonlinear-equations roots

— Gabriel Landi
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3

Esto se conoce como iteración de punto fijo. No estoy bien versado en el tema, pero al menos debería darle algunas palabras nuevas para lanzar a Google. Si no recuerdo mal, aparecen puntos fijos para una amplia variedad de funciones con una amplia variedad de puntos de partida.

— Godric Seer

1

f (u)

$f(u)$

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f (\cdot)

$f(\cdot)$

f (u) = u - (\nabla g)^{- 1} g (u)

$f(u) = u - (\nabla g)^{-1} g(u)$

u_{i + 1} = f (u_{i})

$u_{i+1} = f(u_i)$

g (u) = 0

$g(u) = 0$

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$q:=|f'(x^*)|<1$ $x^*$ $q$ $q$

$<1$

— Arnold Neumaier
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5

El fractal de Feigenbaum es un buen ejemplo de cuán extraña puede ser la iteración del punto de fijación:

http://en.wikipedia.org/wiki/Feigenbaum_fractal

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Logistic_Bifurcation_map_High_Resolution.png

El segundo enlace traza el comportamiento de la iteración de punto fijo aplicada al mapa logístico ya que uno de los parámetros varía. Para ciertos valores converge, aunque solo linealmente. Para otros valores converge a un ciclo de longitud variable. Para otra clase de valores, se comporta de manera completamente caótica.

En otras palabras, el comportamiento de la iteración de punto fijo depende completamente de la función en cuestión. Incluso las funciones que parecen similares pueden exhibir un comportamiento radialmente diferente.

Nota : Como señala Jed, la iteración de Newton puede ser igualmente extraña .

— Geoffrey Irving
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Para ser justos, muchos fractales populares son los conjuntos de Julia de la iteración de Newton en una ecuación simple.

— Jed Brown

4

El teorema de punto fijo de Banach describe la situación estándar cuando una iteración de punto fijo es globalmente convergente. Especialmente la parte de unicidad del teorema indica que solo puede esperar convergencia local si la solución no es única.

$f^n=f\circ \ldots\circ f$ $f$

— Thomas Klimpel
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2

Puede considerar útil esta referencia: una homotopía para resolver problemas de puntos fijos grandes, dispersos y estructurados. R. Saigal. Matemáticas de Investigación de Operaciones, vol. 8, núm. 4 (noviembre de 1983), págs. 557-578.

— Cazador de ciervos
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1

Este método es correcto y se llama "sustitución sucesiva". Por favor, mire la página 189 de esta referencia para más detalles.

— Papiro
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