Condiciones de frontera para la ecuación de advección discretizadas por un método de diferencia finita

Estoy tratando de encontrar algunos recursos para ayudar a explicar cómo elegir las condiciones de contorno cuando se utilizan métodos de diferencias finitas para resolver PDE.

Todos los libros y notas a los que tengo acceso actualmente dicen cosas similares:

Las reglas generales que gobiernan la estabilidad en presencia de límites son demasiado complicadas para un texto introductorio; requieren maquinaria matemática sofisticada

(A. Iserles Un primer curso en el análisis numérico de ecuaciones diferenciales)

Por ejemplo, cuando intente implementar el método de salto de 2 pasos para la ecuación de advección:

$u_i^{n+1} = u_i^{n-1} + \mu (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n)$

usando MATLAB

M = 100; N = 100;

mu = 0.5;

c = [mu 0 -mu];
f = @(x)(exp(-100*(x-0.5).^2));

u  = zeros (M, N);
x = 1/(M+1) * (1:M);

u(:,1) = f(x);
u(:,2) = f(x + mu/(M+1));

for i = 3:N
    hold off;
    u(:,i) = conv(u(:,i-1),c,'same') + u(:,i-2);
    plot(x, u(:,i));
    axis( [ 0 1 0 2] )
    drawnow;
end

La solución se comporta bien hasta que alcanza el límite, cuando de repente comienza a comportarse mal.

¿Dónde puedo aprender a manejar condiciones límite como esta?

La respuesta de Sloede es muy completa y correcta. Solo quería agregar algunos puntos para que sea más fácil de entender.

Básicamente, cualquier ecuación de onda tiene una velocidad y dirección de onda inherentes. Para una ecuación de onda unidimensional: la velocidad de la onda es la constante a que determina no solo la velocidad a la que se propaga la información en el dominio sino también su dirección. Si a > 0 , la información va de izquierda a derecha y si a < 0 es al revés.

$$u_t + a u_x = 0$$ $a$$a>0$$a<0$

Para el método de salto de rana, cuando discretiza las ecuaciones se obtiene: o: u n i =u n - 2 i +μ(u n - 1 i + 1 -u n - 1 i - 1 )dondeμ=-aΔt/Δx. En su caso,μ>

$$\frac{u_i^{n} - u_i^{n-2}}{2 \Delta t} + a \frac{u_{i+1}^{n-1} - u_{i-1}^{n-1}}{2 \Delta x} = 0$$ $$u_i^{n} = u_i^{n-2} + \mu (u_{i+1}^{n-1} - u_{i-1}^{n-1})$$ $\mu = -a \Delta t/\Delta x$$\mu > 0$que se traduce en una ola que va hacia la izquierda. Ahora, si lo piensa, una onda que viaja hacia la izquierda, solo necesitará una condición de límite en el límite derecho, ya que todos los valores a la izquierda se actualizan a través de sus vecinos derechos. De hecho, especificar cualquier valor en el límite izquierdo es inconsistente con la naturaleza del problema. En ciertos métodos, como el simple viento ascendente, esto se soluciona automáticamente ya que el esquema también involucra solo a los vecinos correctos en su plantilla. En otros métodos, como la rana de salto, debe especificar algún valor "correcto".

Esto generalmente se realiza mediante extrapolación desde el dominio interno para encontrar el valor faltante. Para problemas multidimensionales y no canónicos, esto implica encontrar todos los vectores propios del flujo jacobiano para determinar qué partes del límite realmente necesitan condiciones de límite y qué partes requieren extrapolación.

Respuesta general
Su problema es que no establece (ni siquiera especifica) las condiciones de contorno, su problema numérico está mal definido.

En general, hay dos formas posibles de especificar las condiciones de contorno:

1. $u_{0}$$u_{101}$
2. Cambie la plantilla numérica para que use solo información interior en el límite.

El camino que tomes depende en gran medida de la física de tu problema. Para los problemas de tipo de ecuación de onda, generalmente se determinan los valores propios del flujo jacobiano para decidir si se necesitan condiciones de contorno externas o si se debe utilizar la solución interior (este método se denomina comúnmente 'viento ascendente').

---

$u_{i-1}^n$$u_{i+1}^n$$i$$n+1$$i = 1$$u_{0}^n$$u_{100}^{n+1}$$u_{101}^n$

$u_{1}^n$$u_{100}^n$

Puede encontrar una versión modificada de su código fuente a continuación:

M = 100; N = 100;

mu = 0.5;

c = [mu 0 -mu];
f = @(x)(exp(-100*(x-0.5).^2));

u  = zeros (M, N);
x = 1/(M+1) * (1:M);

u(:,1) = f(x);
u(:,2) = f(x + mu/(M+1));

for i = 3:N
    hold off;
    %u(:,i) = conv(u(:,i-1),c,'same') + u(:,i-2);

    % Apply the numerical stencil to all interior points
    for j = 2:M-1
        u(j,i) = u(j,i-2) + mu*(u(j+1,i-1) - u(j-1,i-1));
    end

    % Set the boundary values by interpolating linearly from the interior
    u(1,i) = 2*u(2,i) - u(3,i);
    u(M,i) = 2*u(M-1,i) - u(M-2,i);

    plot(x, u(:,i));
    axis( [ 0 1 0 2] )
    drawnow;
end

Así que he analizado esto con más detalle, y parece que esto (al menos en los casos básicos que estoy manejando) depende de la velocidad de grupo del método.

El método leapfrog (por ejemplo) es:

$u_{i}^{n+1} = u_{i}^{n-1} + \mu (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n)$

$u_k^n = e^{i( \zeta k \Delta x + \omega(\zeta) n \Delta t)}$

$e^{2 i \omega \Delta t} = 1 + \mu e^{i\omega \Delta t} ( e^{i \zeta \Delta x} - e^{-i \zeta \Delta x} )$

$\sin(\omega \Delta t) = \mu \sin (\zeta \Delta x)$

$\frac{d\omega}{d\zeta} = \frac{\cos (\zeta \Delta x)}{\sqrt{1-\mu^2 sin^2(\zeta \Delta x)}} \in [-1,1]$

Ahora necesitamos descubrir la velocidad del grupo de las condiciones de contorno:

$u_1^{n+2} = u_1^n + \mu u_2^{n+1}$

Podemos calcular la velocidad del grupo de límites de la siguiente manera:

$2 i \sin(\omega \Delta t) = \mu e^{i \zeta \Delta x}$

así que para encontrar algunas velocidades de grupo que permiten los límites, necesitamos encontrar:

$\omega = c \zeta$

$\cos(\zeta \Delta x) = 0, \mu \sin(\zeta \Delta x) = 2 \sin (\zeta c \Delta t)$

$\zeta = \frac{\pi}{2 \Delta x}$$\mu = 2 \sin (\frac{c \mu \pi}{2})$$c \in [-1,1]$$\mu$

---

$u_0^{n+1} = u_1^{n}$$[-1,1]$

Todavía tengo bastante más que leer sobre esto antes de entenderlo completamente. Creo que las palabras clave que estoy buscando son la teoría GKS.

Fuente de todo esto Notas de A Iserles Parte III

---

Puede encontrar un cálculo más claro de lo que he hecho aquí: http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/publication/PDF/1983_7.pdf

Chicos, soy muy nuevo en este sitio. Quizás este no sea el lugar para preguntar, pero por favor perdóname porque soy muy nuevo aquí :) Tengo un problema extremadamente similar, la única diferencia es la función de inicio que, en mi caso, es una onda cosenoidal. Mi código es este: borrar todo; clc; cierra todo;

M = 1000; N = 2100;

mu = 0,5;

c = [mu 0 -mu]; f = @ (x) 1- cos (20 * pi * x-0.025). ^ 2; u = ceros (M, N); x = 0: (1 / M): 0,05; u (1: longitud (x), 1) = f (x); u (1: longitud (x), 2) = f (x - mu / (M)); x = espacio interior (0,1, M);

para i = 3: N espera;

% Apply the numerical stencil to all interior points
for j = 2:M-1
    u(j,i) = u(j,i-2) - mu*(u(j+1,i-1) - u(j-1,i-1));
end

% Set the boundary values by interpolating linearly from the interior
u(M,i) =  2*u(M-1,i-1) - u(M-2,i-1);

plot (x, u (:, i)); eje ([0 1.5 -0.5 2]) dibujado hacia abajo; % pausa final

Ya existe este código aquí, pero por alguna razón, probablemente relacionada con la onda cosenoidal, mi código falla: / cualquier ayuda sería apreciada :) ¡gracias!