Matriz exponencial de una matriz hamiltoniana

Deje ser matrices reales, cuadradas y densas. y son simétricos. Dejar $A, G, Q$ $G$ $Q$

H = [\begin{matrix} A & - G \\ - Q & - A^{T} \end{matrix}]

$H = \begin{bmatrix} A & -G \\ -Q &-A^T \end{bmatrix}$

ser una matriz hamiltoniana. Quiero calcular la exponencial de la matriz . Necesito la matriz exponencial completa, , no solo el producto matriz-vector. ¿Hay algún algoritmo especializado o biblioteca disponible para calcular la exponencial de una matriz hamiltoniana? $H$ $e^{tH}$

linear-algebra matrix dense-matrix

— Max Behr
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¿Desea la matriz exponencial en sí misma, o realmente solo quiere resolver la ODE

\dot{z} = H z

$\dot z = Hz$

— Daniel Shapero

Necesito la matriz exponencial en sí misma. Pero lo que es equivalente i puede resolver el ODE

\dot{Z} = H Z, Z (0) = I

$\dot{Z} = H Z,\ Z(0)=I$

— Max Behr

La estructura de Benner que preserva los eigensolvers puede manejar la transformación de similitud para facilitar el cálculo exponencial de la matriz.

— percusión

@RichardZhang La forma brutal es la descomposición QZ. Consulte, por ejemplo, a partir de link.springer.com/article/10.1007/s002110050315 para obtener más detalles.

— percusión

El documento 19 Formas dudosas de calcular el exponencial de una matriz, 25 años después, cubre muchas formas malas (y algunas buenas) de calcular el exponencial de la matriz. No es específico de los problemas de Hamilton pero es muy valioso si está trabajando en este tipo de problemas.

— Daniel Shapero

Respuestas:

Respuesta muy rápida ...

La exponencial de una matriz hamiltoniana es simpléctica, una propiedad que probablemente desee preservar, de lo contrario simplemente usaría un método que no preserva la estructura. De hecho, no existe una ventaja de velocidad real al usar un método estructurado, solo la preservación de la estructura.

Una posible forma de resolver su problema es la siguiente. En primer lugar encontrar una matriz simpléctica tal que es hamiltoniano y bloquear triangular superior, y tiene valores propios en el semiplano de la izquierda. Obtiene esta matriz, por ejemplo, tomando , donde resuelve la ecuación de Riccati asociada a $\hat{H}=M^{-1}HM=\begin{bmatrix} \hat{A} & -\hat{G}\\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$ $\hat{A}$ $\begin{bmatrix}I & 0\\ X & I\end{bmatrix}$ $X$ $H$ , o (más estable ya que es ortogonal) reordenando la descomposición de Schur de y aplicando el truco de Laub (es decir, reemplazando el factor de Schur unitario con ). Es posible que tenga problemas para hacerlo si el Hamiltoniano tiene valores propios en el eje imaginario, pero esa es una larga historia y por ahora supongo que no sucede en su problema. $H$ $\begin{bmatrix}U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22}\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}U_{11} & -U_{12} \\ U_{12} & U_{11}\end{bmatrix}$

$M$ $\exp(H)=M\exp(\hat{H})M^{-1}$

\exp (\hat{H}) = [\begin{matrix} \exp (\hat{A}) & X \\ 0 & \exp (- {\hat{A}}^{T}) \end{matrix}],

$\exp(\hat{H}) = \begin{bmatrix} \exp(\hat{A}) & X\\ 0 & \exp(-\hat{A}^T) \end{bmatrix},$

X

$X$

\hat{A} X + X {\hat{A}}^{T} = - \exp (\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp (- {\hat{A}}^{T})

$\hat{A} X + X \hat{A}^T = -\exp(\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp(-\hat{A}^T)$

\exp (\hat{H}) \hat{H} = \hat{H} \exp (\hat{H})

$\exp(\hat{H})\hat{H}=\hat{H}\exp(\hat{H})$

Entonces los tres factores son exactamente simplécticos. Simplemente utilícelos por separado: no calcule el producto o perderá esta propiedad numéricamente.

— Federico Poloni
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H

$H$

\tilde{H} = [\begin{matrix} \hat{A} & - G \\ 0 & - {\hat{A}}^{T} \end{matrix}]

$\tilde{H}= \begin{bmatrix} \hat{A} & -G \\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$

X_{L}

$X_L$

\hat{A} X_{L} + X_{L} {\hat{A}}^{T} = - G

$\hat{A} X_L + X_L \hat{A}^T = -G$

M_{2} = [\begin{matrix} I & X_{L} \\ 0 & I \end{matrix}]

$M_2=\begin{bmatrix} I & X_L \\ 0 & I \end{bmatrix}$

\hat{H}

$\hat{H}$

\hat{\hat{H}}

$\hat{\hat{H}}$

\hat{A}

$\hat{A}$

\hat{- A^{T}}

$\hat{-A^T}$

$\mathcal H$

$A$ $G$ $Q$ $\mathcal H$ $H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$ $A$ $G$ $Q$ provienen de una ecuación integral que también explicará su estructura densa y el potencial de compresión (dependiendo del núcleo).

$(H-\lambda I)^{-1}$ $\mathcal H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$

$\mathcal H$

$\mathcal{H}$

$\mathcal H$ $\mathcal H$

Desventajas de este enfoque:

$A$ $G$ $Q$
no aprovecha la estructura hamiltoniana

Positivos:

la representación comprimida de la matriz exponencial, aunque sigue siendo una matriz, no solo una forma de hacer un MVP
Complejidad logarítmica lineal (siempre que exista el supuesto de bajo rango)
la biblioteca puede aprovechar la transposición y la simetría en los bloques

— Anton Menshov
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