Descomposición del valor propio de la suma: A (simétrica) + D (diagonal)

Supongamos que es una matriz simétrica real y su descomposición en autovalores es dado. Es fácil ver qué sucede con los valores propios de la suma donde es una constante escalar (vea esta pregunta ). ¿Podemos sacar alguna conclusión en el caso general donde es una matriz diagonal arbitraria? Gracias. $A$ $V \Lambda V^T$ $A + cI$ $c$ $A + D$ $D$

Saludos,

Ivan

linear-algebra

— Ivan
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Puede obtener mejores respuestas si especifica qué tipo de conclusiones le interesan.

— David Ketcheson

@DavidKetcheson, sí, tienes toda la razón. En realidad, estoy tratando de encontrar una manera eficiente de calcular una secuencia de exponenciales matriciales de la forma

donde

es fija y

son matrices diagonales. Esperaba realizar la descomposición del valor propio de

solo una vez y luego usarla de alguna manera para dar cuenta de la corrección introducida por las matrices diagonales. Desafortunadamente,

no viajan en general, por lo que

e^{A + D_{i}}

$e^{A + D_i}$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

A

$A$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

e^{A + D_{i}} \neq e^{A} e^{D_{i}}

$e^{A + D_i} \neq e^A e^{D_i}$ . Le agradecería que pudiera compartir alguna idea al respecto. Gracias.

— Ivan

Esto está relacionado con scicomp.stackexchange.com/questions/503/…

— Geoffrey Irving

Respuestas:

Se puede decir muy poco, a excepción de generalidades tales como que los valores propios cambian continuamente con las entradas de . $D$

Puede ver por cálculo simbólico en el caso 2 por 2 que no se puede esperar nada fuerte.

— Arnold Neumaier
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Gracias por la respuesta, sabía que escucharía algo como esto. ¿Puedo pedirle que eche un vistazo a mi comentario anterior?

— Ivan

La complejidad de calcular una matriz exponencial y la de calcular una factorización espectral es casi la misma. Entonces no, no hay una solución simple. Lo que puede hacer, sin embargo, en caso de que sus matrices diagonales se encuentren en un subespacio de baja D, para calcular la parte relevante de la exponencial (o, de hecho, lo que quiera calcular a partir de ella) para una serie de opciones específicas bien distribuidas en su espacio de los valores deseados, y luego use un algoritmo de interpolación para aproximar todos los demás.

— Arnold Neumaier

A

$A$

e^{A}

$e^A$

V e^{Λ} V^{T}

$V e^\Lambda V^T$

A + D_{i}

$A + D_i$

D

$D$

Ming Gu y Stanley C. Eisenstat han estudiado este problema anteriormente, vea el enlace: http://www.cs.yale.edu/publications/techreports/tr916.pdf

Este documento resuelve el problema de permutación de rango uno, que no puede resolver el problema aquí. Si alguien cumple con el problema de permutación de rango uno, ayuda.

— skyuuka
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Agregar una matriz diagonal no es una corrección de rango uno, por lo que no estoy seguro de cómo ayuda este documento en este caso.

— Christian Clason

@ChristianClason: ¡Correcto! Solo me doy cuenta. ¡Gracias por mencionarlo!

— skyuuka