Transformación de coordenadas de diferencia finita para coordenadas polares esféricas

Tengo parte de un problema que se describe en la ecuación de conservación del momento:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\rho u \sin \theta) =0$

Donde y ρ = f ( θ , t ) (velocidad constante).$u=f(\theta)$$\rho = f(\theta,t)$

Ingenuamente, uno podría aplicar una de las soluciones enumeradas aquí . El problema en cuestión se describe mejor en coordenadas polares esféricas (capa esférica delgada) y esas soluciones en cartesiano. ¿Debo hacer algún tipo de transformación de coordenadas antes de discretizar esta ecuación o puedo hacerlo directamente?

En segundo lugar, ¿hay alguna razón para expandir la derivada en $\theta$ y luego intentar discretizar?

Como nota, he hecho varias de las anteriores y he obtenido soluciones que no parecen ser consistentes (físicamente, una pareja parece tener sentido). Me interesa saber si se debe realizar una transformación de coordenadas adecuada o si alguno de los métodos mencionados anteriormente será suficiente.

EDITAR:

Defino flujo como:

$\Phi_{i+1/2} = \dfrac{u_{i+1/2}+|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i} \sin{\theta_{i}} + \dfrac{u_{i+1/2}-|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i+1} \sin{\theta_{i+1}}$

$\Phi_{i-1/2} = \dfrac{u_{i-1/2}+|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i-1} \sin{\theta_{i-1}} + \dfrac{u_{i-1/2}-|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i} \sin{\theta_{i}}$

$\sin{\theta}$$\pm\frac{1}{2}$

$\theta = 0$

$\Phi$

$\theta$$u$$\rho$