Lo primero que hay que tener en cuenta es que la correspondencia entre encontrar raíces de un polinomio ( cualquier polinomio) y encontrar los valores propios de una matriz arbitraria es realmente directa, y es un tema rico, ver Pseudozeros de polinomios y pseudospectra de matrices compañeras por Toh y Trefethen y las referencias allí.
Básicamente, el caso 2 × 2 es trivial y la fórmula estándar,
es numéricamente estable y preciso, siempre que el determinante
se evalúe con precisión; la fórmula directa será inexacta cuando , pero hay una fórmula precisa debido a Kahan que usa FMA ( https://hal.inria.fr/ensl-00649347v1/document ).
X1= - b - s i g n ( b ) Δ--√2 a,X2= c / ( a x1) ,Δ =det ( b2 c2 asi)
Δsi2≈ 4 a c
No existe tal equivalente directo incluso para polinomios cúbicos. ( Editar: vea el enlace al método de Kahan a continuación en el comentario de CADJunkie. Esto podría estar equivocado ) . La fórmula directa no siempre es numéricamente estable (al contrario de lo que supongo, creo), y no puede ser numéricamente estable de la misma manera. como la fórmula cuadrática insertando los signos correctos en alguna parte. Podría intentar evaluarlo con mayor precisión, por ejemplo, con aritmética doblemente nativa. Pero los enfoques que funcionan directamente en el polinomio son bastante complicados. Por ejemplo ( https://doi.org/10.1145/2699468 , que también funciona en polinomios cuárticos), podría usar el método de Newton con una buena primera aproximación calculada previamente, pero se vuelve realmente bastante complicado, y la aceleración ni siquiera es tan grande .
Las fórmulas explícitas para los polinomios de grado 4 tampoco son siempre numéricamente estables. Los polinomios que son los más difíciles tienden a tener raíces poco comunes (pequeñas o cercanas entre sí, que difieren mucho en magnitud), pero incluso probar su código en algunos miles de millones de polinomios puramente aleatorios generalmente puede revelar errores numéricos.
Una cosa curiosa relacionada con esto es que Jenkins-Traub, que es una buena forma común de encontrar raíces polinómicas, es en realidad un algoritmo de valor propio (iteración inversa) disfrazado.
Yo diría que lo explícito de las fórmulas es, en cierto modo, engañoso: te engaña para que pienses que debido a que la fórmula tiene una forma cerrada, eso significa que de alguna manera es más barato / más fácil. Realmente recomendaría que realmente pruebe / compare esto en algunos datos de prueba. No tiene por qué ser cierto: determinar las raíces de los polinomios de grado está dentro de un pequeño factor entero de dificultad del problema completo de determinar los valores propios de una matriz pequeña, y las rutinas de biblioteca estándar para valores propios son mucho más robustas Y bien probado. Entonces, al reducir el pequeño problema del valor propio a un problema de raíces polinómicas de bajo grado, no necesariamente lo está simplificando.≥ 3
¿Cuáles son las ventajas y desventajas de utilizar el polinomio característico para obtener valores propios específicamente para este caso?
Creo que la principal desventaja es que esta suposición que haces:
Por otro lado, la ecuación es solo cuártica en el mejor de los casos y tenemos fórmulas analíticas para las raíces polinómicas, por lo que no debemos alejarnos demasiado.
eso porque una fórmula está en forma cerrada y analítica, eso significa que es fácil / barata / precisa, no es necesariamente cierto. Podría ser cierto en los datos específicos que pueda tener, pero que yo sepa no es cierto en general.
PD: Toda la distinción entre forma cerrada y no cerrada se vuelve muy delicada con la aritmética de la computadora: se podría pensar que en una fórmula cúbica es una forma cerrada, pero en cuanto a la aritmética de la computadora está preocupado, esa es solo otra función racional aproximada, es quizás más rápida, pero no fundamentalmente diferente, de la función racional aproximada que define el resultado de un algoritmo de valor propio.cos( ⋯ )