Calcule todos los valores propios de una matriz de adyacencia muy grande y muy escasa

Tengo dos gráficos con casi n ~ 100000 nodos cada uno. En ambos gráficos, cada nodo está conectado a exactamente otros 3 nodos, por lo que la matriz de adyacencia es simétrica y muy escasa.

La parte difícil es que necesito todos los valores propios de la matriz de adyacencia pero no los vectores propios. Para ser exactos, esto será una vez en mi vida (¡hasta donde puedo ver, al menos!), Así que quiero obtener todos los valores propios y no me importa esperar unos días para obtenerlos.

Intenté scipyenvoltorios ARPACK, pero lleva demasiado tiempo. Encontré varias bibliotecas, pero funcionan mejor para obtener un subconjunto de valores propios más grandes / más pequeños. ¿Hay alguna biblioteca que funcione para matrices dispersas simétricas con implementación posiblemente paralela para obtener todos los valores propios?

— Mahdi
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Por curiosidad, ¿por qué necesita exactamente todos los valores propios? La mayoría de los problemas de este tamaño son aproximaciones de problemas aún más grandes (o incluso de dimensiones infinitas), por lo que los valores propios de los problemas pequeños solo se aproximan al problema que uno realmente quiere resolver. La mayoría de las veces, la calidad de la aproximación solo es buena para los valores propios más pequeños o más grandes, y todos los demás solo son pobremente aproximados y, en consecuencia, no tienen mucho interés práctico.

— Wolfgang Bangerth

preguntas y respuestas relacionadas

— GoHokies

@WolfgangBangerth: (Perdóname si esto te resulta obvio) El problema proviene de la física de los materiales. Está relacionado con la aproximación de los materiales para obtener una estructura de banda, propiedades vibracionales y eléctricas. Para obtener estos, necesito el espectro completo de valores propios. Por cierto, esto no es nada nuevo y se remonta a los años 70 y 80, pero como mi sistema es amorfo, necesitaba tener un sistema muy grande para obtener buenos resultados. Aunque a la mayoría de las personas solo les importan los cristales, lo cual es extremadamente fácil en comparación con mi caso.

— Mahdi

@Mahdi: Bueno, lo que quise decir es que las propiedades físicas están determinadas por el espectro de algún operador diferencial parcial. Sospecho (pero, por supuesto, no lo sé, porque usted no describe de dónde proviene el problema) que el problema del valor propio de matriz grande que tiene es solo una aproximación del problema PDE. En consecuencia, sus valores propios también serán solo aproximaciones.

— Wolfgang Bangerth

Respuestas:

Puede usar la transformación espectral shift-invert [1] y calcular el espectro banda por banda.

La técnica también se explica en mi artículo [2]. Además de la implementación en [1], hay una implementación disponible en C ++ en mi software Graphite [3] ( actualización 17 de enero : ahora todo está portado a la versión 3 de geogram / graphite ), que utilicé para calcular las funciones propias del operador de Laplace para mallas con hasta 1 millón de vértices (un problema similar al suyo).

Cómo funciona:

La idea es que si es invertible, entonces si es un par propio de , es un par propio de . El método iterativo en ARPACK es muy eficiente para calcular los valores propios grandes (frecuencias altas), pero mucho menos eficiente para los pequeños (frecuencias pequeñas). Por lo tanto, cuando uno necesita calcular frecuencias pequeñas, es una buena idea reemplazar con . Ahora, dado que ARPACK solo necesita calcular productos de vectores de matriz, no es necesario invertir realmente : en su lugar, se puede factorizar (usando, por ejemplo, una LU escasa o una factorización escasa ), luego resolver $A$ $(V,\lambda)$ $A$ $(V, 1/\lambda)$ $A^{-1}$ $A$ $A^{-1}$ $A$ $LL^t$ $Ax=b$ cada vez que ARPACK solicita un producto matriz-vector. Esta es la transformación "invertida". Ahora, cuando el número de valores propios se vuelve grande, ARPACK se vuelve lento, pero hay otro truco / transformación que se puede usar, y uno calcula los valores propios de donde es un "cambio" que determina qué parte del espectro es explorado (esta es la transformación "shift"). Combinando ambas transformaciones, uno calcula un cierto número de valores propios de , y luego explora todo el espectro banda por banda, aumentando . Los detalles están en [1], [2]. $A - \sigma Id$ $\sigma$ $(A-\sigma Id)^{-1}$ $\sigma$

[1] http://www.mcs.anl.gov/uploads/cels/papers/P1263.pdf

[2] http://alice.loria.fr/index.php/publications.html?redirect=0&Paper=ManifoldHarmonics@2008

[3] http://alice.loria.fr/software/graphite/doc/html/

— BrunoLevy
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Gracias Bruno! ¡Parecen muy prometedores, los investigaré!

— Mahdi

Otra opción sería usar rotaciones de Jacobi. Como su matriz ya es casi diagonal, no debería tomar mucho tiempo converger. Generalmente converge en velocidad lineal, pero después de suficientes iteraciones la velocidad de convergencia se vuelve cuadrática.

— Gil
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