Resolver dos problemas inversos con la misma solución

Tengo dos problemas inversos,

A_{1} x = b_{1} A_{2} x = b_{2}

$A_1 ~ x = b_1 \qquad A_2 ~ x = b_2$

Hasta ahora los he estado resolviendo de forma independiente usando la regularización de Tikhonov y obteniendo dos estimaciones para . Sin embargo, en mi caso, representa la misma solución en ambas ecuaciones. ¿Es posible hacer una solución 'simultánea'? Lo ideal sería encontrar la respuesta para $x$ $x$

min (‖ A_{1} x - b_{1} ‖^{2} + ‖ A_{2} x - b_{2} ‖^{2} + ‖ Γ x ‖^{2})

$\min \left( \lVert A_1 x - b_1 \rVert^2 + \lVert A_2 x - b_2 \rVert^2 + \lVert\Gamma x\lVert^2 \right)$

Donde $\Gamma = \alpha ~ I$ e $I$ es la matriz de identidad como en la Regularización de Tikhonov (también conocida como regresión de cresta). Supongo que podría tomar el promedio de ambas soluciones, preguntándome si hay una forma estadísticamente más poderosa de abordar esto.

linear-algebra numerical-analysis inverse-problem

— abnowack
fuente

¿Cuál es la precisión relativa de las mediciones en y ? Es posible que necesite escalar para ajustar esto. ¿Son independientes todas las medidas? La correlación puede complicar las cosas.

b_{1}

$b_{1}$

b_{2}

$b_{2}$

— Brian Borchers, el

En este momento todo está modelado, así que sé y perfectamente, pero en la práctica sabré con tal vez 10 veces más precisión. Sin embargo, en este paso quiero asumir que los conozco a ambos por igual y que son independientes.

b_{1}

$b_1$

b_{2}

$b_2$

b_{1}

$b_1$

— abnowack

Entonces, ¿cuál es tu pregunta aquí? Es fácil resolver el problema de los mínimos cuadrados de tres términos que ha dado en su pregunta.

— Brian Borchers, el

¿Lo es? Si explica en una respuesta, lo marcaré como correcto. Solo uso rutinas básicas como el solucionador menos cuadrado de numpy . No soy de un fondo CS, por lo que podría estar perdiendo algo obvio.

— abnowack

Puedes escribir tu problema como

$\min \| Fm - g \|_{2}^{2}$

dónde

$F=\left[ \begin{array}{c} A_{1} \\ A_{2} \\ \alpha I \\ \end{array} \right]$

$g=\left[ \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ 0 \\ \end{array} \right].$

Puede usar cualquier solucionador lineal de mínimos cuadrados que desee para resolver este problema.

— Brian Borchers
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