En este hilo anterior, se sugirió la siguiente forma multiplicativa de combinar preacondicionadores simétricos y para el sistema simétrico : \ begin {align} P_ \ text {combo} ^ {- 1}: = & P_1 ^ {- 1} + P_2 ^ {- 1} (I - A P_1 ^ {- 1}) \\ = & P_1 ^ {- 1} + P_2 ^ {- 1} - P_2 ^ {- 1} A P_1 ^ {- 1}. \ end {align}P 2 A x = b P - 1 combo : = P - 1 1 + P - 1 2 ( I - A P - 1 1 ) = P - 1 1 + P - 1 2 - P - 1 2 A P - 1 1 .
Este preacondicionador combinado no es simétrico. Sin embargo, he intentado usarlo en gradiente conjugado de todos modos en varios contextos diferentes, y el método siempre parece converger bien. ¿Por qué es esto?
Ejemplo 1: matrices aleatorias.
% Testing multiplicative combination of preconditioners
n = 500;
[U,S,~] = svd(randn(n,n)); A = U*S*U';
[W1,S1,~] = svd(randn(n,n)); noise1 = W1*S1*W1';
[W2,S2,~] = svd(randn(n,n)); noise2 = W2*S2*W2';
P1 = A + 0.5 * noise1;
P2 = A + 0.5 * noise2;
solve_P = @(x) P1\x + P2\x - P2\(A*(P1\x));
b = randn(n,1);
x_true = A\b;
pcg(A,b,1e-6,n);
pcg(A,b,1e-6,n,P1);
x = pcg(A,b,1e-6,n,solve_P);
norm(x_true - x)/norm(x_true)
Aquí está la salida que obtengo:
pcg converged at iteration 127 to a solution with relative residual 9.9e-07.
pcg converged at iteration 62 to a solution with relative residual 6.8e-07.
pcg converged at iteration 51 to a solution with relative residual 8.1e-07.
relative error= 4.23e-07
Ejemplo 2: Combinando multigrid con cholesky incompleto para resolver la ecuación de Poisson.
n = 50; N = n^2;
A = gallery('poisson',n); %Laplacian on n-by-n grid, zero dirichlet BC
L = ichol(A);
solve_P1 = @(x) L'\(L\x);
% Combinatorial multigrid: http://www.cs.cmu.edu/~jkoutis/cmg.html
solve_P2 = cmg_sdd(A);
solve_P = @(x) solve_P1(x) + solve_P2(x) - solve_P1(A*solve_P2(x));
b = randn(N,1);
x_true = A\b;
pcg(A,b,1e-6,N);
pcg(A,b,1e-6,N,solve_P1);
pcg(A,b,1e-6,N,solve_P2);
x = pcg(A,b,1e-6,N,solve_P);
disp(['relative error= ', num2str(norm(x_true - x)/norm(x_true),3)])
Para esto obtengo los resultados:
pcg converged at iteration 131 to a solution with relative residual 8.4e-07.
pcg converged at iteration 44 to a solution with relative residual 6e-07.
pcg converged at iteration 19 to a solution with relative residual 7e-07.
pcg converged at iteration 12 to a solution with relative residual 4.7e-07.
relative error= 5.2e-07
Notas:
- También he visto el mismo comportamiento cualitativo en matrices que surge en situaciones más complicadas / realistas.
- Dada una solución incorrecta a , el error el residual están relacionados por la ecuación de error . Uno puede ver este preacondicionador combinado como aproximadamente resolver la ecuación original usando lugar de , luego aproximadamente resolver la ecuación de error con lugar de , y luego agregar el error aproximado para corregir la solución aproximada original.r A e = r P 1 A P 2 A