Ejemplos ilustrativos de métodos miméticos de diferencias finitas.

Por mucho que trato de encontrar una explicación concisa en Internet, parece que no puedo entender el concepto de una diferencia finita mimética, o cómo incluso se relaciona con las diferencias finitas estándar. Sería realmente útil ver algunos ejemplos simples de cómo se implementan para PDE lineales clásicos (hiperbólicos, elípticos y parabólicos).

No estoy seguro de si es la respuesta que quería, pero como nadie más ha respondido, puedo mencionar la Caja de herramientas de depósito GPL'd MATLAB , que utiliza solucionadores miméticos para ecuaciones de presión en la simulación de depósitos. Viendo como esta ecuación, reduce a la típica ecuación de prueba elíptica, Δp=0(Poisson) para una relación constante de permeabilidad / viscosidad, probablemente pueda obtener algo de comprensión de los solucionadores MRST. MRST admite cuadrículas completamente no estructuradas utilizando diferentes métodos miméticos, donde mimético aquí se refiere a una imitación del producto interno requerido para establecer ecuaciones de balance de masa. Probablemente no necesitará ninguna comprensión de las simulaciones de yacimientos para comprender esto.

Aquí se describe un buen ejemplo para comenzar . Los ejemplos incluidos usan la funcionalidad de secuencia de comandos de bloque de MATLAB, donde puede usar shift-enter para recorrer los pasos e inspeccionar los datos en cada paso.

Los artículos relevantes se pueden encontrar aquí . El primer artículo pasa por la formulación del producto mimético interno para que pueda leer el código. Si no tiene MATLAB o no está familiarizado con el idioma, esto probablemente no sea muy útil, pero creo que los ejemplos simples también deberían ser compatibles con Octave.

Hay una tesis de maestría "Comparación entre esquemas miméticos y de aproximación de flujo de dos puntos en cuadrículas de PEBI" que explica algunos de los detalles, y la sección 7.3 en particular trabaja a través de un pequeño ejemplo a mano.

$\nabla\cdot$$\nabla$$\nabla\times$ . El SOM proporciona un enfoque para la diferenciación espacial mediante la construcción de análogos discretos de los operadores diferenciales antes mencionados. Los operadores discretos satisfacen versiones discretas de identidades diferenciales e integrales importantes satisfechas por los operadores continuos. En esencia, el SOM construye una versión discreta del cálculo del operador diferencial.

La construcción de un cálculo discreto se realiza en dos pasos. Primero elegimos una forma discreta para uno de los operadores fundamentales, denominada primo operador . Luego, en base a un subconjunto de identidades diferenciales e integrales que elegimos mantener, construimos los otros operadores fundamentales, denominados operadores derivados . La elección del operador principal depende de la aplicación y la discretización. En cierto sentido, el operador principal "apoya" la construcción de los operadores derivados. Las leyes de conservación, las simetrías de solución y las relaciones adjuntas entre operadores diferenciales son ejemplos de propiedades que queremos que imiten los operadores discretos.

Por ejemplo, una discretización SOM de la ecuación de difusión lineal imitaría la discretización mimética

1. El teorema de Gauss-Green para hacer cumplir la ley de conservación local
2. $-\textbf{K}\nabla = (\nabla\,\cdot)^{*}$
3. Simetría y positividad garantizadas del producto de la discrepancia discreta y el flujo discreto.
4. El espacio nulo del operador de flujo discreto son las funciones constantes.

Los detalles completos sobre la discretización mimética de la ecuación de difusión están disponibles en 1D o 2D .

Vea la tesis de Jerome Bonelle que está disponible en su sitio web o directamente aquí . Encontré que sus capítulos 2 - 4 son bastante fáciles de leer y dan una buena introducción. También habla de dos ejemplos, una PDE elíptica y las ecuaciones de Stokes.