Diferencia entre la norma l2 y la norma L2

¿Cuál es la diferencia entre la norma $l^2$ y la norma $L^2$ ? No puedo encontrar una referencia definitiva. Wikipedia los usa indistintamente.

error-estimation

— Acero de Damasco
fuente

Por lo general,

ℓ^{2}

$\ell^2$ puede considerarse como la versión discreta

L^{2}

$L^2$ :

ℓ^{2}

$\ell^2$ es la norma para las secuencias, mientras que

L^{2}

$L^2$ es la norma para las funciones en la línea real.

— SB

El comentario de @ SB es correcto y debe convertirse en una respuesta.

— Brian Borchers

Aunque deberías considerar que a veces se piensa como algo similar. Puede encontrar un mapeo de funciones a secuencias. Por ejemplo, una serie de Fourier de una función (y la secuencia de sus coeficientes).

— nicoguaro

Ambas normas son similares en que son inducidas por el producto escalar del respectivo espacio de Hilbert, pero difieren porque los diferentes espacios están dotados de diferentes productos internos:

$\mathbb{R}^N$ $v = (v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$
$‖ v ‖_{2}^{2} = (v, v)_{2} = \sum_{i = 1}^{N} v_{i}^{2} .$ $\|v\|_{2}^2 = (v,v)_{2} = \sum_{i=1}^N v_i^2.$
Para (el espacio de secuencias reales para las cuales la siguiente norma es finita), la norma de está definida por $\ell^2$ $v = \{v_i\}_{i\in\mathbb{N}} \in \ell^2$
$‖ v ‖_{ℓ^{2}}^{2} = (v, v)_{ℓ^{2}} = \sum_{i = 1}^{\infty} v_{i}^{2} .$ $\|v\|_{\ell^2}^2 = (v,v)_{\ell^2} = \sum_{i=1}^\infty v_i^2.$
Para (el espacio de las funciones medibles de Lebesgue en un dominio acotado para el cual la siguiente norma es finita), la norma de se define por $L^2(\Omega)$ $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ $u\in L^2(\Omega)$
$‖ u ‖_{L^{2}}^{2} = (u, u)_{L^{2}} = \int_{Ω} u (x)^{2} d x .$ $\|u\|_{L^2}^2 = (u,u)_{L^2} = \int_\Omega u(x)^2\,dx.$

Todo esto es estándar, se puede encontrar en cualquier libro de texto introductorio sobre análisis funcional, y probablemente ya lo conozca. Dado que la pregunta está etiquetada como estimación de errores , es probable que le interese la diferencia práctica en el uso de uno u otro, por ejemplo, para la discretización de elementos finitos. Digamos que tiene un subespacio de dimensión finita que es el lapso de un número finito de funciones . Entonces cualquier se puede escribir como Como , por supuesto, puede medir con $V_h\subset L^2(\Omega)$ $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (1) & u_{h} = \sum_{i = 1}^{N} u_{i} φ_{i} . \end{matrix}

$u_h = \sum_{i=1}^N u_i \varphi_i. \tag{1}$

V_{h} \subset L^{2} (Ω)

$V_h\subset L^2(\Omega)$

u_{h}

$u_h$

L^{2}

$L^2$ norma. Alternativamente, puede identificar con el vector (a veces llamado isomorfismo de coordenadas ) y medir según la norma euclidiana de .

u_{h}

$u_h$

\vec{u} := (u_{1}, \dots, u_{N})^{T} \in R^{N}

$\vec u:=(u_1,\dots,u_N)^T\in\mathbb{R}^N$

u_{h}

$u_h$

\vec{u}

$\vec u$

¿Cómo se comparan las dos formas de medir ? Al conectar la definición obtiene donde es la masa matriz con entradas . En comparación, tenemos $u_h$ $(1)$

‖ u_{h} ‖_{L^{2}}^{2} = (u_{h}, u_{h})_{L^{2}} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} u_{i} u_{j} \int_{Ω} φ_{i} (x) φ_{j} (x) d x = {\vec{u}}^{T} M_{h} \vec{u},

$\|u_h\|_{L^2}^2 = (u_h,u_h)_{L^2} = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N u_iu_j \int_\Omega \varphi_i(x)\varphi_j(x)\,dx = \vec u^T M_h \vec u,$

M_{h} \in R^{N \times N}

$M_h\in \mathbb{R}^{N\times N}$

M_{i j} = \int_{Ω} φ_{i} (x) φ_{j} (x) d x

$M_{ij} = \int_\Omega \varphi_i(x)\varphi_j(x)\,dx$

‖ u_{h} ‖_{ℓ^{2}}^{2} := ‖ \vec{u} ‖_{2}^{2} = {\vec{u}}^{T} \vec{u} .

$\|u_h\|_{\ell^2}^2 := \|\vec u\|_2^2 = \vec u^T \vec u.$

Ambas normas son, por lo tanto, equivalentes, es decir, existen constantes tales que Entonces, en principio, podría usar ambas normas indistintamente: si el error llega a cero en una norma, también va a cero en la otra norma, y con la misma tasa. Sin embargo, nota que mientras que las constantes y son independientes de , ellos dependen de , y en particular sobre . Esto es importante si desea comparar errores de discretización para diferentes espacios con (digamos) $c_1,c_2>0$

c_{1} ‖ u_{h} ‖_{ℓ^{2}} \leq ‖ u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c_{2} ‖ u ‖_{ℓ^{2}} for all u_{h} \in V_{h} .

$c_1\|u_h\|_{\ell^2}\leq \|u_h\|_{L^2} \leq c_2 \|u\|_{\ell^2}\qquad\text{for all }u_h\in V_h.$

c_{1}

$c_1$

c_{2}

$c_2$

u_{h}

$u_h$

V_{h}

$V_h$

N

$N$

V_{h}

$V_h$

N_{1} < N_{2}

$N_1<N_2$ , En cuyo caso se debe utilizar una norma que no no sí depende de o , es decir, el norma. (Puede ver esto tomando como la función constante y compare para diferentes con - la primera escala como , mientras que este último tiene el mismo valor para cada , ya que la matriz de masa compensa la escala).

N_{1}

$N_1$

N_{2}

$N_2$

L^{2}

$L^2$

u_{h}

$u_h$

u_{h} = 1

$u_h=1$

‖ u_{h} ‖_{ℓ^{2}}

$\|u_h\|_{\ell^2}$

N

$N$

‖ u_{h} ‖_{L^{2}}

$\|u_h\|_{L^2}$

\sqrt{N}

$\sqrt{N}$

N

$N$

También hay una tercera alternativa, intermedia, donde la matriz de masa se aproxima por una matriz diagonal (por ejemplo, tomando como elementos diagonales de la suma de la fila correspondiente de ), y la norma se toma como ; Esto generalmente se conoce como masa de masa . Esta norma es también equivalente tanto con el y el norma - y en este caso, las constantes y al comparar y la masa formación de grumos norma no no dependen de . $D_h$ $D_h$ $M_h$ $\|u_h\|_{D}^2:=\vec u^T D_h\vec u = \sum_{i=1}^N (D_h)_{ii} u_i^2$ $\ell^2$ $L^2$ $c_1$ $c_2$ $L^2$ $N$

— Christian Clason
fuente

La norma 2 para secuencias se denota con . Para funciones en la línea real es la notación estándar de la norma 2. $\ell^2$ $L^2$

— SB
fuente

¿Hay alguna referencia definitiva que pueda ver?

— Damasco Steel

No conozco ninguna referencia específica, pero supongo que puede encontrar más información sobre estas definiciones en los libros de texto de análisis real estándar.

— SB

Sugeriría: Erwin Kreyszig. Análisis funcional introductorio con aplicaciones, Wiley.

— nicoguaro

@nicoguaro Gracias. Eso es lo que estaba buscando.

— Damasco Steel