Iteración de Newton aplicada a PDE no lineal

Tengo dificultades para comprender cómo aplicar la iteración de Newton a PDE no lineales y luego usar un esquema totalmente implícito para el paso del tiempo. Por ejemplo, quiero resolver la ecuación de Burgers

u_{t} + u u_{x} - u_{x x} = 0

$u_{t} + u u_{x} - u_{xx} = 0$

Entonces, discretizando el tiempo usando un Euler hacia atrás

u_{t} = \frac{u^{n + 1} - u^{n}}{h}

$u_{t} = \frac{u^{n+1} - u^{n}}{h}$

encontramos eso

\begin{aligned} \frac{u^{n + 1} - u^{n}}{h} + u^{n + 1} (u^{n + 1})_{x} - (u^{n + 1})_{x x} = 0 \\ u^{n + 1} - h (u^{n + 1})_{x x} + h u^{n + 1} (u^{n + 1})_{x} = u^{n} \\ (I - h D^{2}) u^{n + 1} + h u^{n + 1} D u^{n + 1} = u^{n} \\ (I - h D^{2}) u^{n + 1} + N (u^{n + 1}) = u^{n} (1) \end{aligned}

$\begin{align} &\frac{u^{n+1} - u^{n}}{h} + u^{n+1} (u^{n+1})_{x} - (u^{n+1})_{xx} = 0 \\ &u^{n+1} - h (u^{n+1})_{xx} + h u^{n+1} (u^{n+1})_{x} = u^{n} \\ &(I - h D^{2}) u^{n+1} + h u^{n+1} D u^{n+1} = u^{n} \\ &(I - h D^{2}) u^{n+1} + N(u^{n+1}) = u^{n} \ \ \ (1) \end{align}$

donde representa nuestro término no lineal (tenga en cuenta que el término no lineal se escribe implícitamente). Ahora, queremos aplicar la iteración de Newton a este ODE no lineal, pero aquí es donde me atoro: $N$

¿Aplicamos la iteración de Newton al LHS de , ignorando el término , es decir, resolvemos ? ¿O se supone que debemos incluir el término ? (Solo un recordatorio, quiero cronometrar el paso usando un esquema completamente implícito después de usar la iteración de Newton, por lo que creo que solo queremos resolver el LHS = 0). $(1)$ $u^{n}$ $(I - h D^{2}) u^{n+1} + N(u^{n+1}) = 0$ $u^{n}$
¿Qué se supone que debemos hacer con la información de la conjetura inicial y el resultado de nuestra iteración de Newton? ¿Cómo usamos esta información en nuestro paso de tiempo?

Como estoy seguro es dolorosamente obvio, estoy bastante confundido sobre cómo abordar este problema. Si alguien pudiera dar una descripción detallada de cómo aplicar la iteración de Newton y el paso del tiempo a PDE no lineales (aunque no PDE elípticas), o podría ayudarme con el problema en cuestión, estaría muy agradecido. Gracias por adelantado.

— mattos
fuente

Es un poco más fácil ver si escribe su ecuación en un sistema semi-discreto de la forma y con la aplicación del método y aproximando esto da, $u^{\prime}(t) = F(u(t))$ $\theta$ $u^{\prime}(t) \approx (w^{n+1} - w^{n})/\tau$

w^{norte + 1} - w^{norte} - (1 - θ) τ F (w^{norte}) - θ τ F (w^{norte + 1}) = 0 0

$w^{n+1} - w^{n} - (1-\theta) \tau F(w^n) - \theta\tau F(w^{n+1}) = 0$

con vector desconocido y paso de tiempo . Aquí es la derivada parcial de tiempo no discretizada y representa sus derivadas espaciales discretizadas evaluadas en en el tiempo . El uso del método le brinda un poco de flexibilidad, ya que puede cambiar el método de totalmente implícito a totalmente explícito (y en cualquier punto intermedio). $w^{n+1}$ $\tau$ $u^{\prime}(t)$ $F(u(t))$ $u(t)$ $t$ $\theta$

Esta ecuación se puede resolver usando la iteración de Newton,

ν^{k + 1} = ν^{k} - (yo - θ τ {UNA}^{norte})^{- 1} (ν^{k} - w^{norte} - (1 - θ) τ F (w^{norte}) - θ τ F (w^{norte + 1}))

$\nu^{k+1} = \nu^{k} - (I - \theta\tau A^{n})^{-1} \left( \nu^{k} - w^{n} - (1-\theta) \tau F(w^n) - \theta\tau F(w^{n+1}) \right)$

donde es el índice de iteración ( ) y es la matriz jacobiana de . Usamos el símbolo para las variables de iteración de modo que se distinguen de la solución de la ecuación en un punto en tiempo real . Como dijiste, la iteración necesita un valor inicial, es perfectamente válido elegir o para una mejor estimación podemos calcular previamente una iteración $k$ $k\geq0$ $A^{n}$ $F(w^n)$ $\nu^{k}$ $u^n$ $\nu^0 = w^0$ . Hablando estrictamente, esta es la llamadaiteración de Newtonmodificadaporque el jacobiano no se actualiza durante la iteración, que se sabe que funciona bien para PDE rígidas. $\nu^0 = w^0 + \tau F(w^{0})$

— boyfarrell
fuente

Gracias por su respuesta. Debería haber sido más específico, en realidad ya estoy a punto de usar Newton Iteration y he estado resolviendo el problema como tal, y tengo trazados de la solución. Pero mi problema principal es cómo pasar el tiempo después. ¿Pensé que queríamos "aniquilar" el término no lineal y luego pasar un ODE lineal después? ¿O me he perdido totalmente el punto de Newton Iteration? Además, ¿podría incluir un método paso a paso sobre cómo obtuvo su ecuación de iteración de Newton? Pido disculpas por hacer tantas preguntas, solo estoy teniendo algunas dificultades en este momento.

— mattos

w^{1}

$w^1$

t^{1}

$t^1$

ν

$\nu$

t^{2}

$t^2$

θ = 0

$\theta=0$

Consulte p.127 books.google.co.uk/books?isbn=3540034404 tiene más información. He implementado algoritmos numéricos con eso y funciona.

— boyfarrell