Supongamos que A es una matriz dispersa general, y quiero calcular los valores propios. No sé cómo detectar la multiplicidad de los valores propios. Hasta donde yo sé, para un caso especial, encontrar las raíces polinómicas mediante el método de matriz complementaria, podemos aplicar RRQR para detectar la multiplicidad de las raíces.
Respuestas:
Estrictamente hablando, el problema de calcular multiplicidades está mal planteado, ya que las perturbaciones arbitrariamente pequeñas pueden cambiar las multiplicidades (generalmente reduciéndolas a 1). Sin embargo, para alguna aproximación, lo siguiente funciona.
Si tiene una aproximación de valor propio cercana y puede darse el lujo de factorizar A - σ I, entonces puede aplicar un método de subespacio con la matriz B = ( A - σ I ) - 1 para encontrar el espacio propio de valores propios cercanos a σ . Proyectando en una base ortonormal de ese espacio y calculando la descomposición de Schur, se obtiene la descomposición numérica en espacios propios y sus multiplicidades, hasta donde un método numérico pueda determinarlos.
Si no puede permitirse una sola factorización, se pueden hacer cosas similares con un método de subespacio directo, pero con una resolución mucho peor.