¿Cuál es la idea general del método de Nitsche en el análisis numérico?

Sé que el método de Nitsche es un método muy atractivo, ya que permite tener en cuenta las condiciones de contorno de tipo Dirichlet o el contacto con las condiciones de límite de fricción de manera débil sin el uso de multiplicadores de Lagrange. Y su ventaja, que es transformar una condición límite de Dirichlet en términos débiles de manera similar a una condición límite de Neumann, se paga por el hecho de que la implementación depende del modelo.

Sin embargo, parece ser demasiado general para mí. ¿Me puede dar una idea más específica de este método? Un simple ejemplo sería apreciado.

El método de Nitsche está relacionado con los métodos discontinuos de Galerkin (de hecho, como señala Wolfgang, es un precursor de estos métodos), y puede derivarse de manera similar. Consideremos el problema más simple, la ecuación de Poisson:

$$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$$ Ahora estamos buscando una formulación variacional que

1. se satisface con la solución (débil) (es decir, consistente),$u\in H^1(\Omega)$
2. es simétrico en y v ,$u$$v$
3. admite una solución única (lo que significa que la forma bilineal es coercitiva).

Comenzamos como de costumbre tomando la forma fuerte de la ecuación diferencial, multiplicando por una función de prueba e integrando por partes. Comenzando con el lado derecho, obtenemos ( f , v ) = ( - Δ u $v\in H^1(\Omega)$ donde en la última ecuación hemos agregado el cero productivo0=u-gen el límite. Reorganizar los términos para separar formas lineales y bilineales ahora da una ecuación variacional para una forma bilineal simétrica que se satisface para la soluciónu∈H1(Ω)de(1).

$$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$$ $0=u-g$$u\in H^1(\Omega)$$(1)$

Sin embargo, la forma bilineal no es coercitiva, ya que no se puede vincular desde abajo para por c ‖ v ‖ 2 H 1 (ya que no tenemos condiciones límite para arbitraria v ∈ H 1 ( Ω ) , no podemos usar La desigualdad de Poincaré como de costumbre: esto significa que podemos hacer que la parte L 2 de la norma sea arbitrariamente grande sin cambiar la forma bilineal). Entonces, necesitamos agregar otro término (simétrico) que desaparezca para la verdadera solución: η ∫ ∂ Ω ( u - g ) $u=v$$c\|v\|_{H^1}^2$$v\in H^1(\Omega)$$L^2$ para algunos η > 0 lo suficientemente grande. Esto lleva a la formulación débil (simétrica, consistente, coercitiva): Encuentre u ∈ H 1 ( Ω ) tal que ( ∇ u , ∇ v ) - ∫ ∂ Ω ∂ ν u $\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$$\eta>0$$u\in H^1(\Omega)$

$$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$$

$u,v\in H^1(\Omega)$$u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$$\eta$$ch^{-1}$$c>0$

(Esta no es la derivación original de Nitsche, que es anterior a los métodos discontinuos de Galerkin y parte de un problema de minimización equivalente. De hecho, su trabajo original no menciona la forma bilineal correspondiente, pero puede encontrarla en, por ejemplo, Freund y Stenberg, Sobre condiciones límite impuestas débilmente para problemas de segundo orden , Actas de los Novenos Elementos Conf. Int. Confitados en Fluidos, Venecia 1995. M. Morandi Cecchi et al., Eds. Pp. 327-336 .)