¿Cómo se siente la convergencia débil, numéricamente?

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Considere que tiene un problema en un espacio de Hilbert o Banach de dimensión infinita (piense en un PDE o un problema de optimización en dicho espacio) y tiene un algoritmo que converge débilmente en una solución. Si discretiza el problema y aplica el algoritmo discretizado correspondiente al problema, entonces la convergencia débil es la convergencia en cada coordenada y, por lo tanto, también es fuerte. Mi pregunta es:

¿Este tipo de convergencia fuerte se siente o se ve diferente de la convergencia obtenida de la buena y antigua convergencia fuerte del algoritmo infinito original?

O, más concreto:

¿Qué tipo de mal comportamiento puede ocurrir con un "método discretamente discreto de convergencia"?

Por lo general, yo mismo no estoy muy contento cuando solo puedo demostrar una convergencia débil, pero hasta ahora no pude observar algún problema con el resultado de los métodos, incluso si escalo el problema de problemas discretizados a dimensiones más altas.

Tenga en cuenta que no estoy interesado en el problema "primero discretiza que optimiza" versus "primero optimiza que discretiza" y soy consciente de los problemas que pueden ocurrir si aplica un algoritmo a un problema discretizado que no comparte todas las propiedades con el problema para lo cual fue diseñado el algoritmo.

$L^2$ $L^2$

algorithms convergence

— Puñal
fuente

¿En qué tipo de método está pensando dónde se analiza la convergencia antes de que se discretice el problema de dimensión infinita? Menciona la optimización, entonces, ¿está pensando en problemas de optimización restringidos por PDE, principalmente, o hay algo más?

— Bill Barth

Además de la optimización PDE, tengo en mente problemas de variación geométrica (por ejemplo, superficies mínimas) y problemas de imagen (por ejemplo, eliminación de ruido de TV, segmentación de Mumford-Shah).

— Dirk

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$h\to 0$

$L^2$ $\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ $\varepsilon\to 0$

u (x) = {\begin{cases} - 1 & x < \frac{1}{3} \\ 0 & x \in [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ 1 & x > \frac{2}{3} \end{cases}

$u(x) = \begin{cases} -1 & x<\frac13 \\ 0 &x\in [\frac13,\frac23] \\ 1 &x>\frac23\end{cases}$

[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]

$[\frac13,\frac23]$

ε

$\varepsilon$

convergencia débil 1 convergencia débil 2 convergencia débil 3

Este fenómeno se conoce como "chirrido" en la aproximación de los problemas de control de bang-bang para ecuaciones diferenciales (es decir, problemas con restricciones de recuadro donde la solución casi en todas partes alcanza el límite inferior o superior).

— Christian Clason
fuente

Excelente ejemplo! Sin embargo, no entendí cómo la convergencia débil está vinculada a la no unicidad. En general, no se puede actualizar la convergencia débil a la convergencia fuerte cuando el límite es único, ¿verdad? Pero, de acuerdo, con frecuencia uno solo tiene convergencia débil y no unicidad.

— Dirk

Lo siento, eso fue mal redactado; No quise decir que este es siempre el caso. Tenía en mente problemas en los que generalmente también se obtiene la convergencia de la norma, por lo que siempre que tenga la convergencia de la secuencia completa, puede "actualizar" a una convergencia fuerte (es decir, lo único que puede evitar una convergencia fuerte es la convergencia subsecuente )

— Christian Clason

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La pregunta que hace a menudo no tiene mucha importancia práctica porque la convergencia débil en una norma puede implicar una convergencia fuerte en otra, para la misma secuencia de soluciones.

$u$ $H^2$ $u_h$ $H^1$ $u_h \rightarrow u$ $L_2$ $H^1$ $h\rightarrow 0$ $\|u-u_h\|_{L_2} \le Ch^2$ $\|u-u_h\|_{H^1} \le Ch$

Pero claramente no podemos esperar fuertemente en porque los están solo en . Pero podríamos tener débilmente en (de hecho, creo que eso se cumple). Esto probablemente implicaría una declaración como $u_h \rightarrow u$ $H^2$ $u_h$ $H^1$ $u_h \rightharpoonup u$ $H^2$

⟨ \nabla^{2} (u - u_{h}), \nabla^{2} v ⟩ \leq o (1) \forall v \in H^{2} .

$\left< \nabla^2 (u-u_h), \nabla^2 v\right> \le {\cal o}(1) \qquad \forall v \in H^2.$

El punto es que la cuestión de la convergencia débil frente a la fuerte es típicamente una cuestión de qué norma observas, y no una propiedad de la secuencia de soluciones que obtienes de tu método.

— Wolfgang Bangerth
fuente

Esto es cierto, pero en algún momento la norma se vuelve demasiado débil para ser prácticamente útil (por ejemplo, cuando solo tiene una convergencia débil en , lo que podría implicar una fuerte convergencia en las normas negativas de Sobolev, que no son localizables).

L^{2}

$L^2$

— Christian Clason

@ChristianClason, ¿puedes hablar de cómo es esto cuando dicho método está discretizado? ¿Funcionan? Etc?

— Bill Barth

El caso que tenía en mente es cuando la norma discretizada se aproxima a la norma en la que solo ocurre una convergencia débil (generalmente ).

L^{2}

$L^2$

— Dirk