Norma de estimación de una caja negra funcional

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita con la norma $\|\cdot\|$ y sea $F : V \rightarrow \mathbb R$ un funcional lineal lineal. Solo se da como caja negra.

Me gustaría estimar la norma de $F$ (desde arriba y abajo). Como $F$ es un recuadro negro, la única forma de hacerlo es probarlo con vectores unitarios de $V$ y, en función del resultado, encontrar $v \in S^1 V$ que maximiza $|F(v)|$ .

¿Conoces tal algoritmo? En la aplicación que tengo en mente, $V$ es un espacio de elementos finitos y $F$ es un funcional complicado en ese espacio.

EDITAR: Mi primera idea es elegir $v \in S^1 V$ al azar, perturbarlo en varias direcciones, por ejemplo, $v_1,\dots,v_k$ , y luego repetir el procedimiento con la $v_i$ que obtuvo la mayor $F(v_i)$ . No sé dónde encontrar algoritmos y análisis para este problema.

linear-algebra algorithms

— shuhalo
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¿La norma también es una caja negra? ¿O es la norma habitual para los espacios de Banach,

‖ \cdot ‖_{\infty}

$\|\cdot\|_\infty$ ?

— Jack Poulson

Además, ¿está interesado en la norma en una región (o en un punto) donde la función tiene derivada continua?

— Jed Brown

@Jack: la norma del espacio vectorial es computable, y en un espacio de elementos finitos puede calcularse mediante la matriz de masa y la matriz de rigidez. (

0

$0$ -ésimo y

1

$1$ derivados -sT).

— shuhalo

@Jed: es lineal, por lo que ya es diferenciable.

F

$F$

— shuhalo

Respuestas:

Si su espacio es un espacio de Hilbert, entonces el teorema de Riesz dice que puede representar y puede calcular como lo menciona probando vectores unitarios. Si el espacio es de dimensiones superiores, entonces esto no resulta práctico, pero al menos puede calcular estimaciones de calculando para una secuencia de vectores aleatorios . $V$ $F(v)=\left< f, v \right>$ $f$ $f$ $F(v)$ $v$

— Wolfgang Bangerth
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Tal vez pueda modificar el estimador de número de condición de Hager (consulte, por ejemplo, el documento http://eprints.ma.man.ac.uk/321/01/35608.pdf ), que limitacuando se conoce una factorización de , para trabajar en su caso particular. $\|A^{-1}\|$ $A$

— Arnold Neumaier
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