Criterio de estabilidad para ondas en sólidos anisotrópicos

Las ecuaciones de movimiento para un sólido elástico están dadas por

$$\begin{align} &\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{f} = \rho \ddot{\mathbf{u}}\\ &\boldsymbol{\sigma} = \mathbb{C}\boldsymbol{\varepsilon}\\ &\boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left(\nabla \mathbf{u} + [\nabla\mathbf{u}]^T\right) \end{align}$$

o en notación de índice

$$\begin{align} &\sigma_{ij,j} + f_i = \rho \ddot{u_i}\\ &\sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl}\\ &\varepsilon = \frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i}) \end{align}$$

$\mathbf{u}$ es el vector de desplazamiento,$\mathbf{f}$ es la fuerza del cuerpo (término fuente),$\boldsymbol{\sigma}$ es el tensor de tensión,$\mathbf{\varepsilon}$ es el tensor de tensión y$\mathbb{C}$ es el tensor de rigidez. En el caso de los sólidos isotrópicos, el tensor de rigidez se escribe en términos dedos constantes diferentes, para dominios no acotados, la ecuación admite dos tipos de ondas que están desacopladas y el criterio de estabilidad viene dado por el peor de los dos casos diferentes (es decir, , el de mayor velocidad).

Para los materiales isotrópicos transversales hay 5 parámetros independientes que definen el tensor y 3 tipos de ondas (2 de ellas están acopladas). En el caso más general, el número de parámetros es 21 y la onda está acoplada.

Pregunta: ¿Cómo encuentra el criterio de estabilidad en un algoritmo de marcha temporal para el caso general?

Las ecuaciones de onda como esta pueden reescribirse como un sistema hiperbólico de leyes de conservación de primer orden:

$$q_t + \nabla \cdot F(q) = 0.$$

$F$

$d$$F$$d$$F$

Una buena referencia para esta teoría es el texto de LeVeque sobre métodos de volumen finito . La elasticidad se trata en detalle en el Capítulo 22.

Se aplican todas las advertencias habituales sobre la condición de CFL: es una condición necesaria pero no suficiente para la estabilidad. Pero la condición suficiente para la estabilidad de una discretización dada generalmente viene dada por la condición CFL multiplicada por alguna constante. Para encontrar su criterio de estabilidad, necesita conocer tanto la velocidad máxima de la onda (según las ecuaciones que está resolviendo) como esa constante (según la discretización que está utilizando).

$$\begin{equation} [\rho c^2\delta_{ij} - C_{ijkl}n_jn_l][u_k]=0 \end{equation}$$ $\rho$$c$$\delta$$n_j$$j$

$\rho c^2$

Por lo tanto, en el caso anisotrópico tridimensional, todavía tenemos tres velocidades de fase diferentes para una dirección particular de propagación, la mayor de las cuales debe usarse para el análisis de CFL, de manera similar a la forma en que se usa la velocidad longitudinal en un problema isotrópico

Expandiré la respuesta proporcionada por @DavidKetcheson. Primero, las ecuaciones se reescriben como un sistema hiperbólico de leyes de conservación de primer orden:

$$q_t + \nabla \cdot F(q) = 0$$

o

$$q_t + A q_x + B q_y + C q_z = 0$$

Donde es un vector de estado formado con los componentes del tensor de tensión y componentes del vector de velocidad .$q$$(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{13})$$(u, v, w)$

$$q = \begin{pmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22}\\ \sigma_{33}\\ \sigma_{12}\\ \sigma_{23}\\ \sigma_{13}\\ u\\ v\\ w \end{pmatrix} \enspace ,$$

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{11} & {c}_{16} & {c}_{15}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{12} & {c}_{26} & {c}_{25}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{13} & {c}_{36} & {c}_{35}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{14} & {c}_{46} & {c}_{45}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{15} & {c}_{56} & {c}_{55}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{16} & {c}_{66} & {c}_{56}\\ \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \enspace ,$$

$$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{16} & {c}_{12} & {c}_{14}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{26} & {c}_{22} & {c}_{24}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{36} & {c}_{23} & {c}_{34}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{46} & {c}_{24} & {c}_{44}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{56} & {c}_{25} & {c}_{45}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{66} & {c}_{26} & {c}_{46}\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \enspace ,$$

$$C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{15} & {c}_{14} & {c}_{13}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{25} & {c}_{24} & {c}_{23}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{35} & {c}_{34} & {c}_{33}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{45} & {c}_{44} & {c}_{34}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{55} & {c}_{45} & {c}_{35}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{56} & {c}_{46} & {c}_{36}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \enspace .$$

Para calcular las velocidades del problema (como se describió anteriormente) necesitamos formar la matriz , donde es un vector unitario y determina la dirección de propagación. Para encontrar la condición CFL es necesario resolver$\hat{A}(n_1, n_2, n_3) = n_1 A + n_2 B + n_3 C$$\mathbb{n}=(n_1, n_2, n_3)$

$$\max_{(\theta, \phi)} \max_i \gamma_i(\theta, \phi)$$

donde son ángulos esféricos y son los valores propios de la matriz .$(\theta, \phi)$$\gamma_i$$\hat{A}(\theta, \phi)$

En base a esto, y la respuesta proporcionada por @DavidKetcheson, es más sencillo calcular los valores propios de la ecuación de Christoffel y resolver el problema de optimización

$$\max_{(\theta, \phi)} \max_i \lambda_i(\theta, \phi)$$

con valores propios de la ecuación de Christoffel. Y la velocidad es solo . c = $\lambda_i$$c = \sqrt{\lambda_i/\rho}$