¿Existe una generalización de la Ley de Inercia de Sylvester para el problema simétrico del valor propio generalizado?

Sé que para resolver el problema simétrico del valor propio , podemos usar la Ley de Inercia de Sylvester, que es el número de valores propios de menor que es igual al número de entradas negativas de donde la matriz diagonal proviene del Factorización LDL de . Luego, mediante el método de bisección, podemos encontrar todos o algunos valores propios, según se desee. Deseo saber si existe una generalización de la Ley de Inercia de Sylvester para problemas simétricos de valores propios generalizados, es decir, resolver , donde y son matrices simétricas. Gracias. $Ax = \lambda x$ $A$ $a$ $D$ $D$ $A-aI = LDL^{T}$ $Ax= \lambda Bx$ $A$ $B$

linear-algebra eigensystem

— Willowbrook
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Respuestas:

Sí, si el lápiz es definitivo, es decir, si y son hermitianos y es positivo definido. Luego de la firma del tiene la misma interpretación para el problema de valores propios como en el caso . Un resultado más general de este tipo es válido para cualquier problema de valor propio no lineal definido . Ver la sección 5.3 de mi libro. $A$ $B$ $B$ $A-\sigma B$ $(A-\lambda B)x=0$ $B=I$ $A(\lambda)x=0$

Arnold Neumaier, Introducción al análisis numérico, Cambridge Univ. Prensa, Cambridge 2001.

Para , la prueba de mi afirmación se puede deducir del argumento presentado por Jack Poulson al señalar que y son congruentes, por lo tanto tienen la misma inercia. $(A-\lambda B)x=0$ $C-\sigma I$ $A-\sigma B$

En particular, se puede calcular directamente la inercia de , y no necesita una factorización de Cholesky de para formar . De hecho, si está mal condicionado, entonces la formación numérica de degrada la calidad de la prueba de inercia. $A-\sigma B$ $B$ $C$ $B$ $C$

— Arnold Neumaier
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Buen punto sobre el mal condicionamiento de B; Creo que su enfoque es mejor si uno realmente solo está interesado en calcular la inercia. El enfoque que sugerí es típico para resolver realmente el problema del valor propio (en el caso de que esté bien condicionado).

B

$B$

— Jack Poulson

@JackPoulson: la prueba de inercia generalmente se aplica para obtener los valores propios en un intervalo específico cuando y son escasos y su patrón de espaciamiento articular no genera demasiado relleno. Pero su ya será densa cuando es tridiagonal, por lo tanto, usándola nunca es adecuado para encontrar los valores propios de un gran problema de valor propio generalizado disperso. (Mientras que si el problema no es grande, no tiene mucho sentido usar la inercia, ya que encontrar todos los valores propios suele ser lo suficientemente rápido).

A

$A$

B

$B$

C

$C$

B

$B$

— Arnold Neumaier

Ciertamente; parece que por error dejé la palabra "denso" en mi comentario.

— Jack Poulson

En el caso donde es Hermitiano y positivo-definido, una factorización de Cholesky de , digamos , da que $B$ $B$ $B = L L^H$

A x = L L^{H} x λ,

$Ax=LL^H x \lambda,$

y esta ecuación puede ser manipulada para mostrar que

(L^{- 1} A L^{- H}) (L^{H} x) = (L^{H} x) λ,

$(L^{-1} A L^{-H})(L^H x) = (L^H x) \lambda,$

donde debe quedar claro que conserva la simetría de y también tiene el mismo espectro que el lápiz . Por lo tanto, después de formar , con una factorización de Cholesky seguida de una resolución triangular de dos lados , puede aplicar directamente la ley de inercia de Sylvester a para obtener información sobre los valores propios del lápiz . $C \equiv L^{-1} A L^{-H}$ $A$ $(A,B)$ $C$ $C$ $(A,B)$

Tenga en cuenta que, dado que la Ley de Inercia de Sylvester es invariante con respecto a las transformaciones de congruencia , por ejemplo, , entonces la matriz es congruente con través de la transformación , y así tiene la misma inercia como . Sin embargo, si la inercia de se desea, por algún cambio distinto de cero , entonces ya no podemos considerar simplemente . $S \cdot S^H$ $C$ $A$ $L^{-1} \cdot L^{-H}$ $C$ $A$ $C-\sigma I$ $\sigma$ $A$

— Jack Poulson
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¿Un voto negativo sin ninguna crítica constructiva?

— Jack Poulson

No me he desconectado en la computadora de mi oficina, y mi compañero de oficina se encontró con esta pestaña en mi navegador y rechazó la respuesta, me disculpo por el malentendido y le preguntaré por qué rechazó esto.

— Shuhao Cao

Tenías toda la razón cuando

B

$B$

(A, B)

$(A,B)$

A

$A$

B

$B$

@ Jon: suspiro. Para eso no está el voto negativo.

— Jack Poulson

¡Lo sé! ¡Ya le dije "por favor lea la regla" después de que descubrí que usaba mi cuenta para rechazar una respuesta relevante!

— Shuhao Cao