¿El número de condición de matriz afecta la precisión de los solucionadores lineales iterativos?

8

Tengo una pregunta bastante específica con respecto al número de condición. Ejecuto simulaciones FEM que tienen escalas de longitud múltiple para ellos, lo que resulta en una gran disparidad entre las entradas más grandes y las entradas más pequeñas en mi matriz. El número de condición puede llegar a 10 ^ 15 en algunas circunstancias.

En el análisis numérico, a menudo veo el error vinculado al número de condición, ya que se aplica al error en la solución calculada utilizando métodos directos. Mi curiosidad es si esta lógica se aplica al error en un solucionador de tipo iterativo como CG o GMRES también. Sé que la tasa de convergencia se ve afectada por los valores propios de la matriz, y noto enormes pérdidas de velocidad cuando se ejecutan problemas de este tipo. Pero, no estoy seguro de la precisión. Cualquier ayuda sería apreciada.

linear-algebra numerical-analysis linear-solver

— CraigJ
fuente

¿Es posible reducir su número de condición mediante refinamiento de malla?

— nathanielng

Podría ser mi falta de comprensión de FEM. Pero en problemas de modelado multiescala, el volumen de mi elemento más grande al elemento más pequeño es aproximadamente 10 ^ 10. Sé que esos parámetros irán a las entradas de la matriz. Lo que no sé es si este tipo de cosas se tiene en cuenta en los solucionadores lineales FEM (Pero, no sé cómo sería, por eso hice la pregunta). Entonces, para responder a su pregunta, la malla se refina ya que todos los elementos tienen una calidad aceptable, pero los tamaños dispares de los elementos me hicieron estimar que mi número de condición estaría en este orden.

— CraigJ

13

$10^{15}$

Es poco probable que su método iterativo converja a una solución en un período de tiempo razonable. Incluso si estuviera dispuesto a esperar durante siglos, la solución que obtuviera sería extremadamente sensible a cualquier perturbación en los datos del problema.

— Brian Borchers
fuente

Entonces, si tengo un parámetro que tiene una variabilidad del 5-10% que influirá en los valores de la matriz, ¿entonces esta incertidumbre aumentará muchas veces independientemente del tipo de método de solución? Gracias, solo pido un poco de aclaración.

— CraigJ

1

Sí, si sus datos tienen una precisión del 5-10% y tiene un sistema mal acondicionado, está en serios problemas. Realmente necesitas considerar algún tipo de regularización.

— Brian Borchers

10^{- 20}

$10^{-20}$

10^{12}

$10^{12}$

7

| | x^{*} - x | | = | | A^{- 1} A (x^{*} - x) | | \leq | | A^{- 1} | | | | b - A x | |

$||x^* - x|| = ||A^{-1} A (x^* - x)|| \le ||A^{-1}||\,||b - A x||$

| | A^{- 1} | |

$||A^{-1}||$

κ (A) = | | A | | | | A^{- 1} | |

$\kappa(A) = ||A||\,||A^{-1}||$

\log κ .

$\log\kappa.$

— Matt Knepley
fuente