¿Cómo encontrar los autovalores interiores mediante el método del subespacio krylov?


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Me pregunto cómo encontrar los valores propios de una matriz dispersa en un intervalo dado [a, b] por método iterativo. Para mi comprensión personal, es más obvio usar el método del subespacio de Krylov para encontrar los valores propios extremos en lugar de los interiores.


¿Has considerado las respuestas proporcionadas aquí ?
Deathbreath

Tengo curiosidad ... ¿Qué tan grande es su matriz? ¿Necesita todos los valores propios interiores, o los más cercanos a un valor particular?
Paul

@Paul Esta es solo una investigación en marcha, el tamaño será de mil por mil millones de matrices dispersas, y solo necesitamos unos pocos valores propios en cierto intervalo para hacer el modelado.
Willowbrook

@Deathbreath Gracias por tu recordatorio. He considerado esas respuestas.
Willowbrook

Puede que ya sepas el recurso, pero puede ser útil de todos modos ... www-users.cs.umn.edu/~saad/eig_book_2ndEd.pdf saludos, Tom
Tom

Respuestas:


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La siguiente estrategia se llama cambio e inversión y depende de dos hechos importantes:

  1. tiene el mismo espectro que A , pero se desplaza hacia abajo por τ , es decir, si λ σ ( A ) entonces λ - τ σ ( A - τ I ) .UNA-τyoUNAτλσ(UNA)λ-τσ(UNA-τyo)
  2. Suponiendo que es invertible, la matriz A - 1 tiene un espectro que es igual a la inversa de los elementos del espectro de A , es decir, si λ σ ( A ) entonces 1 / λ σ ( A - 1 ) .UNAUNA-1UNAλσ(UNA)1/ /λσ(UNA-1)

Desde se habrá desplazado la porción deAespectro 's que está cerca deun+bUNA-una+si2yoUNA cerca del origen, los valores propios deAcerca dea+buna+si2UNA será muy grande en(A-a+buna+si2, por lo que es razonable esperar que un algoritmo de Krylov los recoja.(UNA-una+si2yo)-1


Mi pregunta es por el método shift e invert, podemos amplificar todos los valores propios cerca de a, que por supuesto incluirá los no deseados originalmente menores que a, y luego cómo filtrar esos valores propios. La otra pregunta es cómo usar el otro punto final b en la interacción.
Willowbrook

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Es posible filtrar ciertos valores propios utilizando filtros polinómicos. Para una visión general accesible de esta técnica, ver Sorensen: "Métodos numéricos para problemas de gran valor propio" en Acta Numerica journals.cambridge.org/action/…
Reid.Atcheson

C=(una+si)/ /2
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