Calcular el polinomio característico de la matriz dispersa real

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Dada una matriz dispersa genérica con ~~m << n~~ (corrección: ) elementos distintos de cero (típicamente ). es genérico en el sentido de que no tiene propiedades específicas (por ejemplo, definición positiva), y no se supone ninguna estructura (por ejemplo, bandas). $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ $m \ll n^2$ $m \in {\cal O}(n)$ $A$

¿Cuáles son algunos de los buenos métodos numéricos para calcular el polinomio característico o el polinomio mínimo de ? $A$

linear-algebra algorithms sparse-matrix

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Parece que quieres calcular todos los valores propios. ¿Por qué quieres el polinomio y cómo quieres que se exprese? La base monomial está extremadamente mal condicionada, por lo que es probable que los coeficientes no puedan calcularse de manera estable en aritmética de precisión finita.

— Jed Brown

@JedBrown más de una contemplación. En mi respuesta a esta pregunta , di un método algebraico para invertir una matriz, que es bien conocida en álgebra computacional (por ejemplo, matrices sobre anillos y campos conmutativos). Quiero saber si podría usarlo para matrices numéricas. Tenga en cuenta que, a los fines de esta pregunta, estoy interesado en métodos numéricos para encontrar el polinomio característico / mínimo en lugar de inverso.

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Si la complejidad de no es un obstáculo, es posible que desee ver el método Danilevskii. Es bastante conocido en la literatura rusa sobre álgebra lineal numérica, pero no hay mucha información en inglés. Puedes comenzar desde este enlace . $O(n^3)$

La idea es bastante directa: la matriz se reduce gradualmente a la forma normal de Frobenius mediante transformaciones de similitud "de eliminación gaussiana". Si no encuentra la información, puedo hacer que el algoritmo sea más elaborado.

— faleichik
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Puede usar un método numérico como Factorización QR o Método de potencia y sus realives (potencia inversa, etc.) para calcular los valores propios de su matriz genérica. Después de eso, puede calcular su polinomio característico por factorización como: (λ-λ1) (λ-λ2) ... (λ-λn) = 0 donde λi son los valores propios calculados. Aquí hay una breve presentación sobre el poder y los métodos QR:

QR-Power

— chemeng
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$m \ll O(n^2)$ $m \ll O(n)$ $n$ $O(m)$

— Wolfgang Bangerth
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m ≪ n^{2},

$m \ll n^2,$

m \in O (n)

$m \in {\cal O}(n)$