Tasas de convergencia de elementos finitos para problemas mixtos

Codifiqué un problema de Stokes Flow usando elementos finitos y estoy en el proceso de verificar que funcione. Simplemente no estoy seguro de qué tasa de convergencia debería esperar ya que refino globalmente la malla.

Sé que para problemas escalares usando funciones de base lineal esperaría convergencia de orden ( es el tamaño del elemento), y usando funciones de base cuadrática esperaría convergencia de orden en la norma y una potencia menos en el . El problema que tengo ahora es que al codificar el flujo de Stokes utilicé el elemento Taylor-Hood, que utiliza lineales para la presión y cuadrático para los componentes de velocidad. ¿Es tan simple como las velocidades que convergen en y la presión en el orden ? $h^2$ $h$ $h^3$ $L^2$ $H^1$ $h^3$ $h^2$

Publiqué esto en mathoverflow primero y me dijeron que podría ser más adecuado para este foro.

pde finite-element convergence

— Lukas Bystricky
fuente

La aproximación de Taylor-Hood del flujo de Stokes es un método mixto de elementos finitos, para el cual las estimaciones de error generalmente tienen la forma donde es exactamente solución y es la aproximación. Para el flujo de Stokes, y (con valor medio cero). Para el elemento - -Taylor-Hood, consta de polinomios cuadráticos por partes continuas y

\begin{matrix} (1) & ‖ u - u_{h} ‖_{V} + ‖ p - p_{h} ‖_{M} \leq C (inf_{w_{h} \in V_{h}} ‖ u - w_{h} ‖_{V} + inf_{q_{h} \in M_{h}} ‖ p - q_{h} ‖_{M}), \end{matrix}

$\|u-u_h\|_V + \|p-p_h\|_M \leq C (\inf_{w_h\in V_h}\|u-w_h\|_V + \inf_{q_h\in M_h}\|p-q_h\|_M), \tag{1}$

(u, p) \in V \times M

$(u,p)\in V\times M$

(u_{h}, p_{h}) \in V_{h} \times M_{h}

$(u_h,p_h)\in V_h\times M_h$

V = H_{0}^{1} (Ω)^{d}

$V=H^1_0(\Omega)^d$

M = L^{2} (Ω)

$M = L^2(\Omega)$

P_{2}

$P_2$

P_{1}

$P_1$

V_{h}

$V_h$

M_{h}

$M_h$ de polinomios lineales por partes continuos, para los cuales ambos términos en el lado derecho pueden estar delimitados por errores de aproximación cuadrática utilizando argumentos estándar (por ejemplo, lema de Bramble-Hilbert y reglas de transformación): (regla general "número de derivadas a la izquierda potencias de número de derivadas a la derecha"). Insertar esto en produce (suponiendo que la solución exacta es de hecho lo suficientemente regular).

\begin{aligned} inf_{w_{h} \in V_{h}} ‖ u - w_{h} ‖_{H^{1}} & \leq C h^{2} ‖ u ‖_{H^{3}} \\ inf_{q_{h} \in M_{h}} ‖ p - q_{h} ‖_{L^{2}} & \leq C h^{2} ‖ p ‖_{H^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \inf_{w_h\in V_h}\|u-w_h\|_{H^1} &\leq C h^2\|u\|_{H^3}\\ \inf_{q_h\in M_h}\|p-q_h\|_{L^2} &\leq C h^2\|p\|_{H^2}\\ \end{aligned}$

+

$+$

h

$h$

=

$=$

(1)

$(1)$

‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} + ‖ p - p_{h} ‖_{L^{2}} \leq C h^{2} (‖ u ‖_{H^{3}} + ‖ p ‖_{H^{2}}) .

$\|u-u_h\|_{H^1} + \|p-p_h\|_{L^2} \leq C h^2(\|u\|_{H^3} + \|p\|_{H^2}).$

Dado que tanto el problema de Stokes continuo como el discreto son un sistema lineal acoplado triangular superior de la forma la estimación del error (que explota que la diferencia de las soluciones satisface un sistema similar para y y usa la invertibilidad de en el núcleo de ) para depende en general del error en .

\begin{aligned} A u + B^{*} p & = f \\ B u & = 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} Au + B^* p &= f\\ Bu &=0\end{aligned}$

A_{h}

$A_h$

B_{h}

$B_h$

A

$A$

B

$B$

u - u_{h}

$u-u_h$

p - p_{h}

$p-p_h$

Sin embargo, si observa la prueba, hay un agujero de bucle: si el espacio nulo de está contenido en el espacio nulo de , entonces el término de acoplamiento de hecho desaparece, y obtiene una estimación de error que involucra solo a : Desde allí, puede aplicar el truco estándar de Aubin-Nitsche (si la ecuación adjunta está bien planteada, que es el caso si el dominio es lo suficientemente regular (un polígono convexo en 2D o tiene un límite que puede ser parametrizado por una función diferenciable de Lipschitz) para obtener una tasa de convergencia para el error de un orden superior: $B_h$ $B$ $u$

‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq C h^{2} ‖ u ‖_{H^{3}}

$\|u-u_h\|_{H^1} \leq C h^2 \|u\|_{H^3}$

Ω

$\Omega$

L^{2}

$L^2$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq C h^{3} ‖ u ‖_{H^{3}}

$\|u-u_h\|_{L^2} \leq C h^3 \|u\|_{H^3}$

Puede encontrar estos resultados en Ern, Guermond: Theory and Practice of Finite Elements , Springer, 2004 . (Las estimaciones de error se recopilan en el Teorema 4.26, mientras que la regularidad necesaria para se define en el Lema 4.17; desafortunadamente, las pruebas están dispersas en el libro, y creo que no se verifica explícitamente en ninguna parte). $\Omega$ $\ker B_h\subset \ker B$

— Christian Clason
fuente

Parece que pones mucho trabajo en compilar esta respuesta. Realmente lo aprecio. ¿Puede aclarar de dónde obtuvo la estimación: , ¿o eso se acaba de dar?

‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} + ‖ p - p_{h} ‖_{L^{2}} \leq C h^{2} (‖ u ‖_{H^{3}} + ‖ p ‖_{H^{2}})

$\|u-u_h\|_{H^1} + \|p-p_h\|_{L^2} \leq C h^2(\|u\|_{H^3} + \|p\|_{H^2})$

— Lukas Bystricky

No hay problema, me alegro si es de alguna ayuda. La estimación proviene de conectar los errores de interpolación estándar en la primera estimación; He añadido ese paso.

— Christian Clason

Experimentalmente (usando un dominio de caja que no puede ser parametrizado por una función diferenciable) convergencia en y convergencia en para todo el sistema.

h^{2}

$h^2$

L^{2}

$L^2$

h

$h$

H^{1}

$H^1$

— Lukas Bystricky

Hmm, entonces no tengo mucha idea en este momento. Esta es realmente una pregunta nueva, que las personas más familiarizadas con los problemas de Stokes están mejor equipadas para responder. ¿Por qué no hace una nueva pregunta (use el enlace a continuación), donde describe exactamente qué problema está resolviendo (lado derecho, condiciones de contorno, geometría, solución exacta), qué espera ver y qué está obteniendo en su lugar ? (Si el código deal.II es lo suficientemente pequeño, también puede publicarlo; algunos de los principales desarrolladores son colaboradores frecuentes aquí.)

— Christian Clason

Resulta que estaba mirando los componentes incorrectos en mi solución. Cuando miro los componentes correctos obtengo en y en para las velocidades y 1 potencia menos para la presión.

h^{3}

$h^3$

L^{2}

$L^2$

h^{2}

$h^2$

H^{1}

$H^1$

— Lukas Bystricky