¿Cómo lidiar con la condición de contorno curvo cuando se utiliza el método de diferencia finita?

Estoy tratando de aprender sobre la resolución numérica de PDE por mí mismo.

He estado comenzando con el método de diferencia finita (FDM) durante algún tiempo porque escuché que FDM es el fundamento de numerosos métodos numéricos para PDE. Hasta ahora, tengo algunos conocimientos básicos sobre FDM y he podido escribir códigos para algunos PDE simples en la región regular con los materiales que encontré en la biblioteca e Internet, pero lo extraño es que esos materiales que tengo generalmente hablan poco sobre el tratamiento de límites irregulares, curvos, extraños, como este .

Además, nunca he visto una manera fácil de lidiar con el límite curvo. Por ejemplo, el libro Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales: una introducción (Morton K., Mayers D) , que contiene la discusión más detallada (principalmente en 3.4 de p71 y 6.4 de p199) que he visto hasta ahora, ha pasado a una extrapolación que es realmente engorrosa y frustrante para mí.

Entonces, como se preguntaba en el título, en cuanto al límite curvo, ¿cómo suelen lidiar las personas cuando usan FDM? En otras palabras, ¿cuál es el tratamiento más popular para ello? ¿O depende del tipo de PDE?

¿Existe una forma (al menos relativamente) elegante y de alta precisión para lidiar con el límite curvo? ¿O es solo un dolor inevitable?

Incluso quiero preguntar, ¿la gente realmente usa FDM para límites curvos hoy en día? Si no, ¿cuál es el método común para ello?

Cualquier ayuda sería apreciada.

pde finite-difference boundary-conditions

— xzczd
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Respuestas:

Respondiendo su última pregunta primero, ¿las personas realmente usan FDM para el límite curvo hoy en día? Yo diría que la respuesta es no. En el mundo comercial de CFD, los esquemas precisos de volumen finito de segundo orden son el estándar de facto de la industria. Una de las ventajas de FV (y los elementos finitos / enfoques de Galerkin discontinuos mencionados por Jed) sobre FD es el manejo mucho más natural de límites complejos. FD proporciona la base de muchos métodos numéricos (FV incluido) y es necesario aprender como primer paso, pero no es aconsejable para problemas complejos a gran escala.

$(x,y)$ $\xi = \xi(x,y),\eta = \eta(x,y)$ $\Delta \xi = \Delta \eta = constant$ . Entonces uno puede reescribir términos como

\frac{\partial tu}{\partial X} = \frac{\partial tu}{\partial ξ} \frac{\partial ξ}{\partial X} + \frac{\partial tu}{\partial η} \frac{\partial η}{\partial X}

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x}$

$\frac{\partial (\xi,\eta)}{\partial (x,y)}$ $u$

Yo diría que este enfoque de rejilla ajustada al cuerpo es el "tratamiento más popular" para tratar con límites curvos en FD, con la advertencia de que los métodos de FD en sí mismos ya no son muy "populares" para aplicaciones complejas. Es raro verlos aparecer en la literatura de CFD, excepto en dominios muy simples.

— Aurelio
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Su afirmación "Yo diría que la respuesta es no" no es correcta. Visbal y Gaitonde trabajan ampliamente con FD de orden superior en el código FDL3DI . Además, el código OVERFLOW de la NASA es un código FD (hasta donde yo sé / puedo decir).

— Brian Zatapatique

OVERFLOW originalmente era puramente FD, pero ahora generalmente usa la división de flujo FV (AUSM, HLLC, etc., en el canal 1 de su enlace). Definitivamente también es un código "heredado". Ese enlace FDL3DI es del trabajo en los años 90 cuando el trabajo basado en elementos finitos / DG de alto orden estaba en su infancia y no había ninguna demostración de esquemas viables de volumen finito de alto orden preciso. Creo que sería difícil convencer a alguien en 2013 para que comience a desarrollar un código basado en la estrategia compacta de diferencias finitas de ese trabajo. Tan elegante como es, es muy restrictivo para las aplicaciones.

— Aurelius

Estoy en desacuerdo con la generalidad de su afirmación de que no es aconsejable utilizar FD para problemas complejos a gran escala. Hoy en día, las personas en HPC tienden a reestructurar sus esquemas de elementos finitos de una manera similar a una plantilla y usan cuadrículas (semi) estructuradas para implementar de manera eficiente solucionadores libres de matrices para computación de escala extrema. Por lo tanto, a pesar de que no están de moda, la gente todavía quiere usar diferencias finitas. Sin mencionar que hay aplicaciones en las que puedes escapar con mallas estructuradas. Sin embargo, para geometrías complejas, el FD estándar es doloroso y tal vez eso es lo que quería decir.

— Christian Waluga

Para geometrías curvas simples, el FD de alto orden ganará a los métodos de diferencia / volumen espectral de alto orden, reconstrucción de flujo o DG sobre una base de eficiencia (precisión / tiempo). Para los complejos, la generación de la red puede ser un dolor de cabeza suficiente para hacerle probar enfoques alternativos. No debe olvidarse que la flexibilidad muy considerable de los métodos mencionados anteriormente tiene un costo considerable, vea este documento de Loehner . Esta es una de las razones por las cuales FDL3DI y OVERFLOW aún se ven en uso.

— Brian Zatapatique

@ChristianWaluga sí, eso es básicamente lo que estaba tratando de decir. Obviamente, las ideas de FD se abren camino en otras aplicaciones (p. Ej., Los gradientes en FV que se calculan por diferencias finitas), y en ciertas áreas como DNS en geometrías simples, los ves utilizados. Pero para los códigos de uso general, la tendencia en las últimas 2 décadas ha estado bastante alejada de la FD pura.

— Aurelius

Los límites curvos están cubiertos en la mayoría de los libros de CFD, por ejemplo, el Capítulo 11 de Wesseling o el Capítulo 8 de Ferziger y Peric .

Si bien no es un problema teórico fundamental, la complejidad práctica de implementar condiciones de contorno para métodos de alto orden en límites curvos es una razón importante para el interés en métodos más geométricamente flexibles, como el método de elementos finitos (incluido Galerkin discontinuo). La diferencia finita estructurada y las cuadrículas de volumen finito todavía se usan en algunas simulaciones de CFD, pero los métodos no estructurados están ganando popularidad y las operaciones locales utilizadas por los métodos no estructurados de alto orden en realidad son bastante eficientes y, por lo tanto, pueden no sufrir mucha pérdida de eficiencia en comparación con FD similares métodos. (De hecho, la flexibilidad geométrica a menudo los hace más eficientes).

— Jed Brown
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Gran respuesta Jed. Hay un tutorial muy paso a paso sobre cómo tratar los CB irregulares en un problema de fluidos que se encuentra en mi tesis p38-46. Francamente, es un gran dolor A * # hacer esto en las formulaciones de FD. La idea importante a tener en cuenta es que los BC curvos se pueden aproximar por un gran número de rectas infinitesimales.

— meawoppl

He trabajado en fdm de alta precisión durante los últimos n años. y he usado la ecuación electrostática -2 dim laplace como ejemplo para desarrollar explícitamente los algoritmos de alta precisión. Hasta hace aproximadamente 4 años, los problemas se construían con puntos de líneas horizontales o verticales de posible discontinuidad. si buscas en Google mi nombre y fdm de alta precisión, deberías encontrar las referencias. Pero esta no es tu pregunta. Su pregunta es fdm y límites curvos. Hace aproximadamente un año, presenté una solución de orden 8 en Hong Kong (ver Método de diferencia finita para electrostática cilíndricamente simétrica con límites curvilíneos) que creó algoritmos de orden 8 para puntos interiores cercanos al límite y estos requerirían, por supuesto, puntos en el otro lado del límite. los puntos en el otro lado del límite se colocaron allí simplemente extendiendo la malla al otro lado. Una vez hecho esto, la pregunta era cómo encontrar los valores de estos puntos al relajar la malla. se logró integrando desde el límite (potencial conocido) hasta el punto utilizando los algoritmos. fue razonablemente exitoso y razonablemente preciso ~ <1e-11, PERO requirió 103 algoritmos cada uno diseñado individualmente y fue algo frágil, se pudieron encontrar geometrías inestables. Para remediar lo anterior, se ha encontrado una solución (orden 8 e inferior) utilizando (¡uno!) algoritmo mínimo y la solución presenta una robustez considerable. se ha enviado pero estaría disponible como preimpresión enviándome un correo electrónico. Creo que esta técnica sería extensible a pde independientes del tiempo (lineal requerido) que no sea laplace y a dimensiones superiores a 2. No he considerado el problema dependiente del tiempo, pero la técnica es una técnica de serie de potencia que debería ser adaptable y aplicable. david

— david
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Si pudiera enviar su trabajo a un servidor de preimpresión (como arXiv, por ejemplo) y luego vincularlo aquí, eso mejoraría su respuesta. En términos generales, las respuestas no deben contener direcciones de correo electrónico. También te animo a que hagas tu respuesta más concisa.

— Geoff Oxberry