Tengo una noción muy básica sobre la aritmética de intervalos (IA), pero parece ser una rama muy interesante de la ciencia computacional, tanto teórica como prácticamente. Está claro que las aplicaciones obvias son problemas informáticos verificados y mal planteados, pero esto es demasiado abstracto. Como hay mucha gente involucrada en los cálculos aplicados aquí, tengo curiosidad sobre los problemas del mundo real que son difíciles o imposibles de resolver sin IA .
Respuestas:
Esta respuesta responde en parte al comentario de JackPoulson (porque es larga) y en parte responde a la pregunta.
La aritmética de intervalos es un procedimiento computacional para dar límites rigurosos a cantidades calculadas, solo en el sentido de que la extensión de intervalo de una función de valor real en un intervalo encierra la imagen de esa función en el mismo intervalo. Sin calcular nada, la aritmética de intervalos no puede darle una idea de qué factores influyen en el error numérico en un cálculo, mientras que los teoremas en el libro de Higham y otros le dan una idea de los factores que influyen en el error numérico, a costa de los límites potencialmente débiles. Por supuesto, los límites obtenidos usando la aritmética de intervalos también pueden ser débiles, debido al llamado problema de dependencia , pero a veces son mucho más fuertes. Por ejemplo, los límites de intervalo obtenidos usando el paquete de integración COSY Infinityson mucho más estrictos que los tipos de límites de error que obtendría en la integración numérica a partir de los resultados de Dahlquist (consulte Hairer, Wanner y Nørsett para más detalles); Estos resultados (me refiero particularmente a los Teoremas 10.2 y 10.6 en la Parte I) dan más información sobre las fuentes de error, pero los límites son débiles, mientras que los límites usando COSY pueden ser ajustados. (Usan varios trucos para mitigar los problemas de dependencia).
Dudo en usar la palabra "prueba" cuando describo qué intervalo de aritmética hace. Hay pruebas que involucran la aritmética de intervalos, pero calcular los resultados usando la aritmética de intervalos con redondeo externo es realmente solo un medio de contabilidad para unir conservativamente el rango de una función. Los cálculos aritméticos de intervalos no son pruebas; son una forma de propagar la incertidumbre.
En lo que respecta a las aplicaciones, además del trabajo de Stadtherr en ingeniería química, la aritmética de intervalos también se ha utilizado para calcular los límites de los experimentos con haz de partículas (ver el trabajo de Makino y Berz, vinculado al sitio web COSY Infinity), han sido utilizado en aplicaciones de optimización global y diseño de ingeniería química (entre otras) por Barton (el enlace es a una lista de publicaciones), el diseño de naves espaciales y optimización global (entre otras) por Neumaier (nuevamente, el enlace es a una lista de publicaciones ), optimización global y solucionadores de ecuaciones no lineales de Kearfott (otra lista de publicaciones), y para la cuantificación de la incertidumbre (varias fuentes; Barton es una de ellas).
Finalmente, un descargo de responsabilidad: Barton es uno de mis asesores de tesis.
La aritmética de intervalos le proporciona una prueba con rigor matemático.
Buenos ejemplos de aplicaciones reales es el trabajo de Mark Stadtherr y su grupo de investigación. En particular, los cálculos de equilibrio de fase y estabilidad se resuelven con éxito con métodos de intervalos.
Una buena colección de puntos de referencia, con referencia a sus antecedentes físicos, se encuentra en el sitio web de ALIAS .
Otra característica de la aritmética de intervalos y sus generalizaciones es que permite la exploración adaptativa del dominio de una función. Por lo tanto, se puede usar para modelado geométrico adaptativo, procesamiento y renderizado, solo para tomar ejemplos de gráficos por computadora.
Los métodos de intervalo han aparecido en algunas pruebas recientes de teoremas matemáticos duros como la existencia del caos en el atractor de Lorenz y la Conjetura de Kepler. Ver http://www.cs.utep.edu/interval-comp/kearfottPopular.pdf para estas y otras aplicaciones.
La aritmética de intervalos es muy útil para algoritmos geométricos. Dichos algoritmos geométricos toman como entrada un conjunto de objetos geométricos (por ejemplo, un conjunto de puntos) y construyen una estructura de datos combinatoria (por ejemplo, una triangulación) basada en las relaciones espaciales entre los puntos. Estos algoritmos dependen de un pequeño número de funciones, llamadas 'predicados', que toman como entrada un número fijo de objetos geométricos y devuelven un valor discreto (típicamente uno de 'arriba, alineado, abajo'). Dichos predicados generalmente corresponden al signo de un determinante de las coordenadas del punto.
El uso de números de coma flotante estándar no es suficiente, ya que puede fallar calcular con precisión el signo del determinante y, lo que es peor, devolver resultados incoherentes (es decir, decir que A está por encima de B y B está por encima de A, haciendo que el algoritmo cree un desorden en lugar de una malla!). El uso sistemático de precisión múltiple (como en la biblioteca Gnu Multi-Precision y su extensión MPFR a números de coma flotante de precisión múltiple) funciona pero causa una penalización de rendimiento significativa. Cuando el predicado geométrico es el signo de algo (como en la mayoría de los casos), el uso de la aritmética de intervalos le permite a uno hacer un cálculo más rápido y luego solo lanzar el cálculo de precisión múltiple más expansivo si hay cero en el intervalo.
Tal enfoque se utiliza en varios códigos de geometría computacional grandes (por ejemplo, CGAL).